ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \( \log_2 (-x) + \log_2 (1-x) < 1 \)

2) \( \log_{0.2} (x-1) + \log_{0.2} (x+3) > -1 \)

3) \( \log_3 (x-2) + \log_3 (x-10) > 2 \)

4) \( \log_7 x + \log_7 (3x-8) > 1 + 2\log_7 2 \)

1)
\(
\log_2(-x) + \log_2(1 — x) \leq 1;
\)

\(
\log_2(-x \cdot (1 — x)) \leq \log_2 2;
\)

\(
-x + x^2 \leq 2;
\)

\(
x^2 — x — 2 \leq 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)

\(
(x + 1)(x — 2) \leq 0;
\)

\(
-1 \leq x \leq 2;
\)

Область определения:

\(
-x > 0, \quad 1 — x > 0;
\)

\(
x < 0, \quad x < 1;
\)

Ответ:
\(
[-1; 0).
\)

2)
\(
\log_{0.2}(x — 1) + \log_{0.2}(x + 3) \geq -1;
\)

\(
\log_{0.2}((x — 1)(x + 3)) \geq \log_{0.2} 5;
\)

\(
x^2 + 3x — x — 3 \leq 5;
\)

\(
x^2 + 2x — 8 \leq 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2;
\)

\(
(x + 4)(x — 2) \leq 0;
\)

\(
-4 \leq x \leq 2;
\)

Область определения:

\(
x — 1 > 0, \quad x + 3 > 0;
\)

\(
x > 1, \quad x > -3;
\)

Ответ:
\(
(1; 2].
\)

3)
\(
\log_3(x — 2) + \log_3(x — 10) \geq 2;
\)

\(
\log_3((x — 2)(x — 10)) \geq \log_3 9;
\)

\(
x^2 — 10x — 2x + 20 \geq 9;
\)

\(
x^2 — 12x + 11 \geq 0;
\)

\(
D = 12^2 — 4 \cdot 11 = 144 — 44 = 100,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{12 — 10}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{12 + 10}{2} = 11;
\)

\(
(x — 1)(x — 11) \geq 0;
\)

\(
x \leq 1, \quad x \geq 11;
\)

Область определения:

\(
x — 2 > 0, \quad x — 10 > 0;
\)

\(
x > 2, \quad x > 10;
\)

Ответ:
\(
[11; +\infty).
\)

4)
\(
\log_7 x + \log_7 (3x — 8) \geq 1 + 2 \log_7 2;
\)

\(
\log_7 (x(3x — 8)) \geq \log_7 (7 \cdot 2^2);
\)

\(
3x^2 — 8x \geq 28;
\)

\(
3x^2 — 8x — 28 \geq 0;
\)

\(
D = 8^2 + 4 \cdot 3 \cdot 28 = 64 + 336 = 400,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{8 — 20}{2 \cdot 3} = -\frac{7}{3}, \quad x_2 = \frac{8 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{14}{3};
\)

\(
\left(x + \frac{7}{3}\right)\left(x — \frac{14}{3}\right) \geq 0;
\)

\(
x \leq -\frac{7}{3}, \quad x \geq \frac{14}{3};
\)

Область определения:

\(
x > 0, \quad 3x — 8 > 0;
\)

\(
x > 0, \quad x > \frac{8}{3};
\)

Ответ:
\(
\left[\frac{14}{3}; +\infty\right).
\)

1)
Дано неравенство:
\(
\log_2(-x) + \log_2(1 — x) \leq 1
\)

Используем свойство логарифмов: сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения:
\(
\log_2((-x)(1 — x)) \leq \log_2 2
\)

Так как функция \(\log_2 t\) монотонно возрастает, то неравенство эквивалентно:
\(
(-x)(1 — x) \leq 2
\)

Раскроем скобки:
\(
-x + x^2 \leq 2
\)

Переносим все в одну сторону:
\(
x^2 — x — 2 \leq 0
\)

Решаем квадратное неравенство. Найдём дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
\)

Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2
\)

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, то неравенство
\(
x^2 — x — 2 \leq 0
\)
верно на промежутке между корнями:
\(
-1 \leq x \leq 2
\)

Теперь учтём область определения логарифмов. Подлоговые выражения должны быть строго положительны:
\(
-x > 0 — x < 0
\)
\(
1 — x > 0 — x < 1
\)

Область определения — пересечение этих условий:
\(
x < 0 \quad \text{и} \quad x < 1 — x < 0
\)

Пересечём с решением неравенства:
\(
-1 \leq x \leq 2 \quad \cap \quad x < 0 — -1 \leq x < 0
\)

Ответ:
\(
[-1; 0)
\)

2)
Дано:
\(
\log_{0.2}(x — 1) + \log_{0.2}(x + 3) \geq -1
\)

Сложение логарифмов с одинаковым основанием — логарифм произведения:
\(
\log_{0.2}((x — 1)(x + 3)) \geq -1
\)

Перепишем правую часть:
\(
-1 = \log_{0.2} 5
\)

Потому что:
\(
0.2^{-1} = \frac{1}{0.2} = 5
\)

Логарифм с основанием меньше 1 убывает, поэтому знак неравенства меняется при переходе от логарифма к аргументу:
\(
(x — 1)(x + 3) \leq 5
\)

Раскроем скобки:
\(
x^2 + 3x — x — 3 \leq 5
\)
\(
x^2 + 2x — 3 \leq 5
\)

Переносим 5 в левую часть:
\(
x^2 + 2x — 8 \leq 0
\)

Находим дискриминант:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2
\)

Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, неравенство верно между корнями:
\(
-4 \leq x \leq 2
\)

Область определения логарифмов:
\(
x — 1 > 0 — x > 1
\)
\(
x + 3 > 0 — x > -3
\)

Пересечение области определения:
\(
x > 1
\)

Итоговое решение — пересечение с решением неравенства:
\(
(1; 2]
\)

3)
Дано:
\(
\log_3(x — 2) + \log_3(x — 10) \geq 2
\)

Сумма логарифмов — логарифм произведения:
\(
\log_3((x — 2)(x — 10)) \geq \log_3 9
\)

Так как основание \(3 > 1\), знак неравенства сохраняется:
\(
(x — 2)(x — 10) \geq 9
\)

Раскроем скобки:
\(
x^2 — 10x — 2x + 20 \geq 9
\)
\(
x^2 — 12x + 20 \geq 9
\)

Переносим 9:
\(
x^2 — 12x + 11 \geq 0
\)

Дискриминант:
\(
D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 11 = 144 — 44 = 100
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{12 — 10}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{12 + 10}{2} = 11
\)

Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, неравенство верно вне интервала между корнями:
\(
x \leq 1 \quad \text{или} \quad x \geq 11
\)

Область определения логарифмов:
\(
x — 2 > 0 — x > 2
\)
\(
x — 10 > 0 — x > 10
\)

Пересечение области определения:
\(
x > 10
\)

Итоговое решение — пересечение с решением неравенства:
\(
[11; +\infty)
\)

4)
Дано:
\(
\log_7 x + \log_7 (3x — 8) \geq 1 + 2 \log_7 2
\)

Сложение логарифмов — логарифм произведения:
\(
\log_7 (x(3x — 8)) \geq 1 + \log_7 (2^2)
\)

Так как \(1 = \log_7 7\), то:
\(
\log_7 (x(3x — 8)) \geq \log_7 7 + \log_7 4 = \log_7 (7 \cdot 4) = \log_7 28
\)

Основание логарифма больше 1, поэтому знак неравенства сохраняется:
\(
x(3x — 8) \geq 28
\)

Раскроем скобки:
\(
3x^2 — 8x \geq 28
\)

Переносим 28 в левую часть:
\(
3x^2 — 8x — 28 \geq 0
\)

Дискриминант:
\(
D = (-8)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-28) = 64 + 336 = 400
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{8 — 20}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2
\)
\(
x_2 = \frac{8 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}
\)

Проверим знак неравенства. Коэффициент при \(x^2\) положительный, значит неравенство верно вне интервала между корнями:
\(
x \leq -2 \quad \text{или} \quad x \geq \frac{14}{3}
\)

Область определения логарифмов:
\(
x > 0
\)
\(
3x — 8 > 0 — x > \frac{8}{3}
\)

Пересечение области определения:
\(
x > \frac{8}{3}
\)

Итоговое решение — пересечение с решением неравенства:
\(
\left[\frac{14}{3}; +\infty\right)
\)