ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((\log_{0.2} x)^2 < 1\)

2) \((\log_{1/3} x)^2 > 4\)

3) \(\lg^2 x + 3 \lg x — 4 < 0\)

4) \((\log_{1/4} x)^2 + 2 \log_{1/4} x — 8 < 0\)

5) \((\log_2 x)^2 — 5 \log_2 x + 6 > 0\)

6) \(2(\log_{1/9} x)^2 — 5 \log_{1/9} x + 2 > 0\)

1)
\(
\log_{2,2} x \leq 1;
\)
\(
\log_{2,2} x — 1 \leq 0;
\)
\(
(\log_1 x + 1)(\log_1 x — 1) \leq 0;
\)
\(
-1 \leq \log_1 x \leq 1;
\)
\(
\frac{1}{5} \leq x \leq 5;
\)
Ответ:
\(
\left[\frac{1}{5}; 5\right].
\)

2)
\(
\log_{\frac{1}{3}} x \geq 4;
\)
\(
\log_{\frac{1}{3}} x — 4 \geq 0;
\)
\(
(\log_{\frac{1}{3}} x + 2)(\log_{\frac{1}{3}} x — 2) \geq 0;
\)
\(
\log_{\frac{1}{3}} x \leq -2, \quad \log_{\frac{1}{3}} x \geq 2;
\)
\(
x \geq 9, \quad 0 < x \leq \frac{1}{9};
\)
Ответ:
\(
\left(0; \frac{1}{9}\right] \cup [9; +\infty).
\)

3)
\(
\lg^2 x + 3 \lg x — 4 < 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25,
\)

тогда:
\(
\lg x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4, \quad \lg x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1;
\)

\(
(\lg x + 4)(\lg x — 1) < 0;
\)

\(
-4 < \lg x < 1;
\)

\(
0.0001 < x < 10;
\)

Ответ:
\(
(0.0001; 10).
\)

4)
\(
\log_{\frac{1}{4}}^2 x + 2 \log_{\frac{1}{4}} x — 8 \leq 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36, \text{ тогда:}
\)

\(
\log_{\frac{1}{4}} x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4 \quad \text{и} \quad \log_{\frac{1}{4}} x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2;
\)

\(
(\log_{\frac{1}{4}} x + 4)(\log_{\frac{1}{4}} x — 2) \leq 0;
\)

\(
-4 \leq \log_{\frac{1}{4}} x \leq 2;
\)

\(
\frac{1}{16} \leq x \leq 256;
\)

Ответ:
\(
\left[\frac{1}{16}; 256\right].
\)

5)
\(
\log_2^2 x — 5 \log_2 x + 6 \geq 0;
\)

\(
D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{ тогда:}
\)

\(
\log_2 x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \quad \text{и} \quad \log_2 x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;
\)

\(
(\log_2 x — 2)(\log_2 x — 3) \geq 0;
\)

\(
\log_2 x \leq 2, \quad \log_2 x \geq 3;
\)

\(
0 < x \leq 4, \quad x \geq 8;
\)

Ответ:
\(
(0; 4] \cup [8; +\infty).
\)

6)
\(
2 \log_{\frac{1}{9}}^2 x — 5 \log_{\frac{1}{9}} x + 2 \geq 0;
\)

\(
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9, \text{ тогда:}
\)

\(
\log_{\frac{1}{9}} x_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \log_{\frac{1}{9}} x_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2;
\)

\(
(\log_{\frac{1}{9}} x — \frac{1}{2})(\log_{\frac{1}{9}} x — 2) \geq 0;
\)

\(
\log_{\frac{1}{9}} x \leq \frac{1}{2}, \quad \log_{\frac{1}{9}} x \geq 2;
\)

\(
x \geq \frac{1}{3}, \quad 0 < x \leq \frac{1}{81};
\)

Ответ:
\(
(0; \frac{1}{81}] \cup \left[\frac{1}{3}; +\infty\right).
\)

1)
Рассмотрим неравенство
\(
\log_{2.2} x \leq 1.
\)

Перепишем его как
\(
\log_{2.2} x — 1 \leq 0.
\)

Пусть
\(
t = \log_{2.2} x.
\)

Тогда неравенство принимает вид
\(
t — 1 \leq 0 — t \leq 1.
\)

Если в условии дальше идет разложение в виде
\(
(t + 1)(t — 1) \leq 0,
\)
то это, возможно, ошибка в исходном условии, так как изначально было просто \(t \leq 1\).

Если же рассматривать неравенство
\(
(t + 1)(t — 1) \leq 0,
\)
то решение — промежуток, где произведение отрицательно или равно нулю:
\(
-1 \leq t \leq 1.
\)

Подставляя обратно \(t = \log_{2.2} x\), получаем
\(
-1 \leq \log_{2.2} x \leq 1.
\)

Преобразуем к степеням:
\(
2.2^{-1} \leq x \leq 2.2^{1}.
\)

Число \(2.2\) примерно равно \(2.2\), но в исходном решении стоит \( \frac{1}{5} \leq x \leq 5 \), возможно, основание логарифма было \(5\) или \(1/5\). Предположим, что основание логарифма — 5, тогда:
\(
-1 \leq \log_5 x \leq 1 — 5^{-1} \leq x \leq 5^{1} — \frac{1}{5} \leq x \leq 5.
\)

Ответ:
\(
\left[\frac{1}{5}; 5\right].
\)

2)
Неравенство
\(
\log_{\frac{1}{3}} x \geq 4.
\)

Перепишем:
\(
\log_{\frac{1}{3}} x — 4 \geq 0.
\)

Пусть
\(
t = \log_{\frac{1}{3}} x,
\)
тогда
\(
t — 4 \geq 0 — t \geq 4.
\)

Далее в решении используется факторизация:
\(
(t + 2)(t — 2) \geq 0.
\)

Решение этого неравенства:
\(
t \leq -2 \quad \text{или} \quad t \geq 2.
\)

Подставим обратно:
\(
\log_{\frac{1}{3}} x \leq -2 \quad \text{или} \quad \log_{\frac{1}{3}} x \geq 2.
\)

Преобразуем к степеням:
\(
x \geq \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9, \quad \text{или} \quad x \leq \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}.
\)

Так как \(x > 0\), то
\(
0 < x \leq \frac{1}{9} \quad \text{или} \quad x \geq 9.
\)

Ответ:
\(
\left(0; \frac{1}{9}\right] \cup [9; +\infty).
\)

3)
Неравенство
\(
\lg^2 x + 3 \lg x — 4 < 0,
\)
где \(\lg x = \log_{10} x\).

Введём переменную
\(
t = \lg x.
\)

Тогда неравенство становится квадратичным:
\(
t^2 + 3t — 4 < 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25.
\)

Найдём корни:
\(
t_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4, \quad t_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1.
\)

Так как коэффициент при \(t^2\) положительный, неравенство \(< 0\) выполняется между корнями:
\(
-4 < t < 1.
\)

Возвращаемся к \(x\):
\(
-4 < \lg x < 1 — 10^{-4} < x < 10^{1}.
\)

То есть
\(
0.0001 < x < 10.
\)

Ответ:
\(
(0.0001; 10).
\)

4)
Неравенство
\(
\log_{\frac{1}{4}}^2 x + 2 \log_{\frac{1}{4}} x — 8 \leq 0.
\)

Пусть
\(
t = \log_{\frac{1}{4}} x.
\)

Тогда
\(
t^2 + 2t — 8 \leq 0.
\)

Дискриминант:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36.
\)

Корни:
\(
t_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4, \quad t_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2.
\)

Так как коэффициент при \(t^2\) положительный, неравенство \(\leq 0\) верно на промежутке между корнями:
\(
-4 \leq t \leq 2.
\)

Возвращаясь к \(x\):
\(
-4 \leq \log_{\frac{1}{4}} x \leq 2.
\)

Преобразуем:
\(
\left(\frac{1}{4}\right)^{-4} \leq x \leq \left(\frac{1}{4}\right)^2.
\)

Вычислим степени:
\(
\left(\frac{1}{4}\right)^{-4} = 4^4 = 256, \quad \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}.
\)

Обратите внимание, что основание логарифма \(\frac{1}{4} < 1\), поэтому порядок неравенств меняется при переходе от логарифма к \(x\). Для логарифма с основанием меньше 1: \( \log_a x \leq t \iff x \geq a^t. \) Таким образом, при \(-4 \leq t \leq 2\), для \(a = \frac{1}{4}\), \(x\) лежит в промежутке \[ \frac{1}{16} \leq x \leq 256. \] Ответ: \( \left[\frac{1}{16}; 256\right]. \)

5) Неравенство \( \log_2^2 x — 5 \log_2 x + 6 \geq 0. \) Пусть \( t = \log_2 x. \) Тогда \( t^2 — 5t + 6 \geq 0. \) Дискриминант: \( D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1. \) Корни: \( t_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad t_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3. \) Квадратный трехчлен \(\geq 0\) вне корней, то есть \( t \leq 2 \quad \text{или} \quad t \geq 3. \) Возвращаемся к \(x\): \( \log_2 x \leq 2 — x \leq 2^2 = 4, \) \( \log_2 x \geq 3 — x \geq 2^3 = 8. \) Так как \(x > 0\), то
\(
0 < x \leq 4 \quad \text{или} \quad x \geq 8.
\)

Ответ:
\(
(0; 4] \cup [8; +\infty).
\)

6)
Неравенство
\(
2 \log_{\frac{1}{9}}^2 x — 5 \log_{\frac{1}{9}} x + 2 \geq 0.
\)

Пусть
\(
t = \log_{\frac{1}{9}} x.
\)

Тогда
\(
2 t^2 — 5 t + 2 \geq 0.
\)

Дискриминант:
\(
D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9.
\)

Корни:
\(
t_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2.
\)

Так как коэффициент при \(t^2\) положительный, неравенство \(\geq 0\) верно вне корней:
\(
t \leq \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad t \geq 2.
\)

Переходя к \(x\), учитывая, что основание \(\frac{1}{9} < 1\), порядок меняется:
\(
t = \log_{\frac{1}{9}} x \leq \frac{1}{2} — x \geq \left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3},
\)
\(
t = \log_{\frac{1}{9}} x \geq 2 — x \leq \left(\frac{1}{9}\right)^2 = \frac{1}{81}.
\)

Таким образом,
\(
x \geq \frac{1}{3} \quad \text{или} \quad 0 < x \leq \frac{1}{81}.
\)

Ответ:
\(
(0; \frac{1}{81}] \cup \left[\frac{1}{3}; +\infty\right).
\)