ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((\log_{0.5} x)^2 > 9\)

2) \(\lg^2 x — 2\lg x — 3 > 0\)

3) \(2(\log_{4} x)^2 — \log_{4} x — 1 < 0\)

4) \((\log_{0.2} x)^2 — \log_{0.2} x — 2 < 0\)

1)
\(
\log_{0.5}^2 x \geq 9;
\)
\(
\log_{0.5}^2 x — 9 \geq 0;
\)
\(
\left(\log_{\frac{1}{2}} x + 3\right)\left(\log_{\frac{1}{2}} x — 3\right) \geq 0;
\)
\(
\log_{\frac{1}{2}} x \leq -3, \quad \log_{\frac{1}{2}} x \geq 3;
\)
\(
x \geq 8, \quad 0 < x \leq \frac{1}{8};
\)
Ответ:
\(
(0; \frac{1}{8}] \cup [8; +\infty).
\)

2)
\(
\lg^2 x — 2 \lg x — 3 \geq 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,
\)
тогда:
\(
\lg x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad \lg x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\)
\(
(\lg x + 1)(\lg x — 3) \geq 0;
\)
\(
\lg x \leq -1, \quad \lg x \geq 3;
\)
\(
0 < x \leq 0.1, \quad x \geq 1000;
\)
Ответ:
\(
(0; 0.1] \cup [1000; +\infty).
\)

3)
\(
2 \log_4^2 x — \log_4 x — 1 < 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,
\)
тогда:
\(
\log_4 x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \log_4 x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = 1;
\)
\(
(\log_4 x + \frac{1}{2})(\log_4 x — 1) < 0;
\)
\(
-\frac{1}{2} < \log_4 x < 1;
\)
\(
\frac{1}{2} < x < 4;
\)
Ответ:
\(
\left(\frac{1}{2}; 4\right).
\)

4)
\(
\log_{0.2}^2 x — \log_{0.2} x — 2 \leq 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,
\)
тогда:
\(
\log_{0.2} x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad \log_{0.2} x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)
\(
(\log_{0.2} x + 1)(\log_{0.2} x — 2) \leq 0;
\)
\(
-1 \leq \log_{0.2} x \leq 2;
\)
\(
0.04 \leq x \leq 5;
\)
Ответ:
\(
[0.04; 5].
\)

1)

Решим неравенство:
\(
\log_{0.5}^2 x \geq 9.
\)
Это можно переписать как:
\(
\log_{0.5}^2 x — 9 \geq 0.
\)
Факторизуем:
\(
\left(\log_{\frac{1}{2}} x + 3\right)\left(\log_{\frac{1}{2}} x — 3\right) \geq 0.
\)
Решаем каждую часть:
\(
\log_{\frac{1}{2}} x \leq -3 \quad \text{или} \quad \log_{\frac{1}{2}} x \geq 3.
\)
Теперь преобразуем логарифмы:
1. Для \(\log_{\frac{1}{2}} x \leq -3\):
\(
x \geq 8.
\)
2. Для \(\log_{\frac{1}{2}} x \geq 3\):
\(
0 < x \leq \frac{1}{8}.
\)
Таким образом, ответ:
\(
(0; \frac{1}{8}] \cup [8; +\infty).
\)

2)

Решим неравенство:
\(
\lg^2 x — 2 \lg x — 3 \geq 0.
\)
Находим дискриминант:
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16.
\)
Находим корни:
\(
\lg x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad \lg x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3.
\)
Факторизуем:
\(
(\lg x + 1)(\lg x — 3) \geq 0.
\)
Решаем каждую часть:
\(
\lg x \leq -1 \quad \text{или} \quad \lg x \geq 3.
\)
Преобразуем логарифмы:
1. Для \(\lg x \leq -1\):
\(
0 < x \leq 0.1.
\)
2. Для \(\lg x \geq 3\):
\(
x \geq 1000.
\)
Таким образом, ответ:
\(
(0; 0.1] \cup [1000; +\infty).
\)

3)

Решим неравенство:
\(
2 \log_4^2 x — \log_4 x — 1 < 0.
\)
Находим дискриминант:
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9.
\)
Находим корни:
\(
\log_4 x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}, \quad \log_4 x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = 1.
\)
Факторизуем:
\(
(\log_4 x + \frac{1}{2})(\log_4 x — 1) < 0.
\)
Решаем неравенство:
\(
-\frac{1}{2} < \log_4 x < 1.
\)
Преобразуем логарифмы:
1. Для \(-\frac{1}{2} < \log_4 x < 1\):
— \(x > 4^{-0.5} = \frac{1}{2}\)
— \(x < 4^1 = 4.\)
Таким образом, ответ:
\(
\left(\frac{1}{2}; 4\right).
\)

4)

Решим неравенство:
\(
\log_{0.2}^2 x — \log_{0.2} x — 2 \leq 0.
\)
Находим дискриминант:
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9.
\)
Находим корни:
\(
\log_{0.2} x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad \log_{0.2} x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2.
\)
Факторизуем:
\(
(\log_{0.2} x + 1)(\log_{0.2} x — 2) \leq 0.
\)
Решаем неравенство:
\(
-1 \leq \log_{0.2} x \leq 2.
\)
Преобразуем логарифмы:
1. Для \( -1 \leq \log_{0.2} x \):
— \(x \geq 0.04.\)
2. Для \( \log_{0.2} x \leq 2 \):
— \(x \leq 5.\)
Таким образом, ответ:
\(
[0.04; 5].
\)