ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

1. \((\log_2 (4x))^2 + 2\log_2 x — 11 < 0\)
2. \((\log_3 (27x))^2 + 3\log_3 x — 19 > 0\)
3. \(\frac{\lg^2 x + \lg x — 6}{\lg x} > 0\)
4. \(2\log_5 x — \log_x 5 < 1\)

1) \(\log_2^2(4x) + 2 \log_2 x — 11 < 0;\)
\((2 + \log_2 x)^2 + 2 \log_2 x — 11 < 0;\)
\(4 + 4 \log_2 x + \log_2^2 x + 2 \log_2 x — 11 < 0;\)
\(\log_2^2 x + 6 \log_2 x — 7 < 0;\)
\(D = 6^2 + 4 \cdot 7 = 36 + 28 = 64,\) тогда:
\(
\log_2 x_1 = \frac{-6 — 8}{2} = -7 \quad \text{и} \quad \log_2 x_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1;
\)
\((\log_2 x + 7)(\log_2 x — 1) < 0;\)
\(-7 < \log_2 x < 1;\)
\(
\frac{1}{128} < x < 2;
\)
Ответ: \((\frac{1}{128}; 2).\)

2) \(\log_3^2(27x) + 3 \log_3 x — 19 \geq 0;\)
\((3 + \log_3 x)^2 + 3 \log_3 x — 19 \geq 0;\)
\(9 + 6 \log_3 x + \log_3^2 x + 3 \log_3 x — 19 \geq 0;\)
\(\log_3^2 x + 9 \log_3 x — 10 \geq 0;\)
\(D = 9^2 + 4 \cdot 10 = 81 + 40 = 121,\) тогда:
\(
\log_3 x_1 = \frac{-9 — 11}{2} = -10 \quad \text{и} \quad \log_3 x_2 = \frac{-9 + 11}{2} = 1;
\)
\((\log_3 x + 10)(\log_3 x — 1) \geq 0;\)
\(
\log_3 x \leq -10, \quad \text{или} \quad \log_3 x \geq 1;
\)
\(
0 < x \leq 3^{-10}, \quad x \geq 3;
\)
Ответ: \((0; 3^{-10}] \cup [3; +\infty).\)

3) \(\frac{\lg^2 x + \lg x — 6}{\lg x} \geq 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25,\) тогда:
\(
\lg x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \quad \text{и} \quad \lg x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;
\)
\(
\frac{(\lg x + 3)(\lg x — 2)}{\lg x} \geq 0;
\)
\(
-3 \leq \lg x < 0, \quad \lg x \geq 2;
\)
\(
0{,}001 \leq x < 1, \quad x \geq 100;
\)
Ответ: \([0{,}001; 1) \cup [100; +\infty).\)

4) \(2 \log_5 x — \log_x 5 \leq 1;\)
\(
2 \log_5 x — \frac{1}{\log_5 x} — 1 \leq 0;
\)
\(
\frac{2 \log_5^2 x — \log_5 x — 1}{\log_5 x} \leq 0;
\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,\) тогда:
\(
\log_5 x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \log_5 x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = 1;
\)
\(
\frac{(\log_5 x + \frac{1}{2})(\log_5 x — 1)}{\log_5 x} \leq 0;
\)
\(
\log_5 x \leq -\frac{1}{2}, \quad 0 < \log_5 x \leq 1;
\)
\(
x \leq \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad x \leq 5;
\)
Ответ: \(\left(0; \frac{1}{\sqrt{5}}\right] \cup (0; 5].\)

1) Неравенство
\(
\log_2^2(4x) + 2 \log_2 x — 11 < 0.
\)

Сначала используем свойство логарифма:
\(
\log_2(4x) = \log_2 4 + \log_2 x = 2 + \log_2 x.
\)

Подставляем в неравенство:
\(
(2 + \log_2 x)^2 + 2 \log_2 x — 11 < 0.
\)

Раскрываем квадрат:
\(
4 + 4 \log_2 x + \log_2^2 x + 2 \log_2 x — 11 < 0.
\)

Собираем подобные слагаемые:
\(
\log_2^2 x + 6 \log_2 x + (4 — 11) < 0,
\)
то есть
\(
\log_2^2 x + 6 \log_2 x — 7 < 0.
\)

Обозначим
\(
t = \log_2 x.
\)

Тогда неравенство принимает вид:
\(
t^2 + 6t — 7 < 0.
\)

Вычисляем дискриминант:
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64.
\)

Находим корни квадратного уравнения:
\(
t_1 = \frac{-6 — 8}{2} = -7, \quad t_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1.
\)

Так как коэффициент при \(t^2\) положительный, неравенство выполняется между корнями:
\(
-7 < t < 1.
\)

Возвращаемся к переменной \(x\):
\(
-7 < \log_2 x < 1 — 2^{-7} < x < 2^1,
\)
то есть
\(
\frac{1}{128} < x < 2.
\)

Ответ:
\(
\left(\frac{1}{128}, 2\right).
\)

2) Неравенство
\(
\log_3^2(27x) + 3 \log_3 x — 19 \geq 0.
\)

Используем свойство логарифмов:
\(
\log_3(27x) = \log_3 27 + \log_3 x = 3 + \log_3 x.
\)

Подставляем:
\(
(3 + \log_3 x)^2 + 3 \log_3 x — 19 \geq 0.
\)

Раскрываем квадрат:
\(
9 + 6 \log_3 x + \log_3^2 x + 3 \log_3 x — 19 \geq 0.
\)

Собираем подобные слагаемые:
\(
\log_3^2 x + 9 \log_3 x + (9 — 19) \geq 0,
\)
то есть
\(
\log_3^2 x + 9 \log_3 x — 10 \geq 0.
\)

Обозначим
\(
t = \log_3 x.
\)

Тогда неравенство становится:
\(
t^2 + 9t — 10 \geq 0.
\)

Вычисляем дискриминант:
\(
D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121.
\)

Находим корни:
\(
t_1 = \frac{-9 — 11}{2} = -10, \quad t_2 = \frac{-9 + 11}{2} = 1.
\)

Так как коэффициент при \(t^2\) положительный, неравенство выполняется при:
\(
t \leq -10 \quad \text{или} \quad t \geq 1.
\)

Возвращаемся к \(x\):
\(
\log_3 x \leq -10 — x \leq 3^{-10},
\)
\(
\log_3 x \geq 1 — x \geq 3.
\)

Учитывая область определения логарифма \(x > 0\), ответ:
\(
(0, 3^{-10}] \cup [3, +\infty).
\)

3) Неравенство
\(
\frac{\lg^2 x + \lg x — 6}{\lg x} \geq 0.
\)

Обозначим
\(
t = \lg x.
\)

Числитель — квадратное выражение:
\(
t^2 + t — 6.
\)

Вычисляем дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25.
\)

Корни:
\(
t_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad t_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2.
\)

Числитель раскладывается на множители:
\(
(t + 3)(t — 2).
\)

Неравенство можно переписать как:
\(
\frac{(t + 3)(t — 2)}{t} \geq 0,
\)
где \(t \neq 0\).

Рассмотрим знаки выражения на интервалах, выделенных точками \(t = -3, 0, 2\):

— При \(t < -3\):
числитель положителен (оба множителя отрицательны), знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.

— При \(-3 < t < 0\):
числитель отрицателен (один множитель положителен, другой отрицательный), знаменатель отрицателен, дробь положительна.

— При \(0 < t < 2\):
числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь отрицательна.

— При \(t > 2\):
числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна.

Неравенство выполняется там, где дробь неотрицательна, то есть:
\(
-3 \leq t < 0 \quad \text{или} \quad t \geq 2.
\)

Возвращаемся к \(x\):
\(
-3 \leq \lg x < 0 — 10^{-3} \leq x < 1,
\)
\(
t \geq 2 — x \geq 10^2 = 100.
\)

Ответ:
\(
[0.001, 1) \cup [100, +\infty).
\)

4) Неравенство
\(
2 \log_5 x — \log_x 5 \leq 1.
\)

Используем свойство логарифмов:
\(
\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}.
\)

Подставляем:
\(
2 \log_5 x — \frac{1}{\log_5 x} \leq 1.
\)

Переносим 1 в левую часть:
\(
2 \log_5 x — \frac{1}{\log_5 x} — 1 \leq 0.
\)

Приводим к общему знаменателю:
\(
\frac{2 \log_5^2 x — \log_5 x — 1}{\log_5 x} \leq 0.
\)

Обозначим
\(
t = \log_5 x.
\)

Числитель — квадратный трёхчлен:
\(
2 t^2 — t — 1.
\)

Вычисляем дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9.
\)

Находим корни:
\(
t_1 = \frac{1 — 3}{4} = -\frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1.
\)

Числитель раскладывается как:
\(
( t + \frac{1}{2} )( t — 1 ) \cdot 2,
\)
но множитель 2 не влияет на знак.

Неравенство переписывается в виде:
\(
\frac{(t + \frac{1}{2})(t — 1)}{t} \leq 0,
\)
где \(t \neq 0\).

Рассмотрим знаки на интервалах, выделенных точками \(t = -\frac{1}{2}, 0, 1\):

— При \(t < -\frac{1}{2}\):
числитель положителен (оба множителя отрицательны), знаменатель отрицателен, дробь отрицательна — подходит.

— При \(-\frac{1}{2} < t < 0\):
числитель отрицателен, знаменатель отрицателен, дробь положительна — не подходит.

— При \(0 < t < 1\):
числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь отрицательна — подходит.

— При \(t > 1\):
числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна — не подходит.

Итог:
\(
t \leq -\frac{1}{2} \quad \text{или} \quad 0 < t \leq 1.
\)

Возвращаемся к \(x\):
\(
\log_5 x \leq -\frac{1}{2} — x \leq 5^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}},
\)
\(
0 < \log_5 x \leq 1 — 1 < x \leq 5.
\)

Ответ:
\(
\left(0, \frac{1}{\sqrt{5}}\right] \cup (1, 5].
\)