ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

\(
\begin{align*}
1) & \quad \lg x < \lg 4; \\
2) & \quad \log_{\frac{5}{6}} x > \log_{\frac{5}{6}} \left(\frac{6}{7}\right); \\
3) & \quad \log_{12} (x-8) > \log_{12} 3; \\
4) & \quad \log_{16} (4x-6) < \log_{16} 10; \\
5) & \quad \log_{\frac{8}{11}} (2-x) < \log_{\frac{8}{11}} 2; \\
6) & \quad \log_{0.9} (2x+1) > \log_{0.9} 5.
\end{align*}
\)

1) \(\lg x < \lg 4;\)
\(x < 4, \quad x > 0;\)
Ответ: \((0; 4)\).

2) \(\log_{\frac{5}{6}} x > \log_{\frac{5}{6}} \frac{6}{7};\)
\(x < \frac{6}{7}, \quad x > 0;\)
Ответ: \(\left(0; \frac{6}{7}\right)\).

3) \(\log_2 (x — 8) > \log_{12} 3;\)
\(x — 8 > 3;\)
\(x > 11;\)
Ответ: \((11; +\infty)\).

4) \(\log_{16} (4x — 6) < \log_{16} 10;\)
\(4x — 6 < 10,\quad 4x — 6 > 0;\)
\(4x < 16,\quad 4x > 6;\)
\(x < 4,\quad x > 1,5;\)
Ответ: \((1,5; 4)\).

5) \(\log_8 (2 — x) < \log_8 2;\)
\(2 — x > 2;\)
\(x < 0;\)
Ответ: \((-\infty; 0)\).

6) \(\log_{0,9} (2x + 1) > \log_{0,9} 5;\)
\(2x + 1 < 5,\quad 2x + 1 > 0;\)
\(2x < 4,\quad 2x > -1;\)
\(x < 2,\quad x > -0,5;\)
Ответ: \((-0,5; 2)\).

1)
\(
\lg x < \lg 4
\)
Применяем свойства логарифмов:
\(
x < 4 \quad \text{и} \quad x > 0
\)
Ответ:
\(
(0; 4)
\)

2)
\(
\log_{\frac{5}{6}} x > \log_{\frac{5}{6}} \frac{6}{7}
\)
Так как основание логарифма меньше 1, неравенство меняет знак:
\(
x < \frac{6}{7} \quad \text{и} \quad x > 0
\)
Ответ:
\(
(0; \frac{6}{7})
\)

3)
\(
\log_{12} (x — 8) > \log_{12} 3
\)
Применяем свойства логарифмов:
\(
x — 8 > 3
\)
Решаем неравенство:
\(
x > 11
\)
Ответ:
\(
(11; +\infty)
\)

4)
\(
\log_{16} (4x — 6) < \log_{16} 10
\)
Так как основание логарифма больше 1, неравенство сохраняет знак:
\(
4x — 6 < 10 \quad \text{и} \quad 4x — 6 > 0
\)
Решаем оба неравенства:
1. \(4x < 16 \Rightarrow x < 4\)
2. \(4x > 6 \Rightarrow x > 1.5\)

Ответ:
\(
(1.5; 4)
\)

5)
\(
\log_8 (2 — x) < \log_8 2
\)
Так как основание логарифма больше 1, неравенство сохраняет знак:
\(
2 — x < 2
\)
Решаем неравенство:
\(
-x < 0 \Rightarrow x > 0
\)
Также учитываем ограничение:
\(
2 — x > 0 \Rightarrow x < 2
\)
Ответ:
\(
(-\infty; 0)
\)

6)
\(
\log_{0.9} (2x + 1) > \log_{0.9} 5
\)
Так как основание логарифма меньше 1, неравенство меняет знак:
\(
2x + 1 < 5 \quad \text{и} \quad 2x + 1 > 0
\)
Решаем оба неравенства:
1. \(2x < 4 \Rightarrow x < 2\)
2. \(2x > -1 \Rightarrow x > -0.5\)

Ответ:
\(
(-0.5; 2)
\)