ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((\log_7 (7x))^2 — \log_7 x > 3\)

2) \((\log_6 \left(\frac{x}{216}\right))^2 + 8 \log_6 x — 12 < 0\)

3) \(\frac{(\log_3 x)^2 — 6 \log_3 x + 8}{\log_3 x — 1} > 0\)

4) \(\log_{0.5} x — 2 \log_x 0.5 < 1\)

1)
\(
\log_7^2(7x) — \log_7 x \geq 3;
\)
\(
(1 + \log_7 x)^2 — \log_7 x — 3 \geq 0;
\)
\(
1 + 2 \log_7 x + \log_7^2 x — \log_7 x — 3 \geq 0;
\)
\(
\log_7^2 x + \log_7 x — 2 \geq 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,
\)
тогда:
\(
\log_7 x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad \log_7 x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;
\)
\(
(\log_7 x + 2)(\log_7 x — 1) \geq 0;
\)
\(
\log_7 x \leq -2, \quad \log_7 x \geq 1;
\)
\(
0 < x \leq \frac{1}{49}, \quad x \geq 7;
\)
Ответ:
\(
(0; \frac{1}{49}] \cup [7; +\infty).
\)

2)
\(
\log_6^2 \frac{x}{216} + 8 \log_6 x — 12 \leq 0;
\)
\(
(\log_6 x — 3)^2 + 8 \log_6 x — 12 \leq 0;
\)
\(
\log_6^2 x — 6 \log_6 x + 9 + 8 \log_6 x — 12 \leq 0;
\)
\(
\log_6^2 x + 2 \log_6 x — 3 \leq 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,
\)
тогда:
\(
\log_6 x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \quad \log_6 x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;
\)
\(
(\log_6 x + 3)(\log_6 x — 1) \leq 0;
\)
\(
-3 \leq \log_6 x \leq 1;
\)
\(
\frac{1}{216} \leq x \leq 6;
\)
Ответ:
\(
[\frac{1}{216}; 6].
\)

3)
\(
\frac{\log_3^2 x — 6 \log_3 x + 8}{\log_3 x — 1} \geq 0;
\)

\(
D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4, \text{ тогда:}
\)

\(
\log_3 x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2 \quad \text{и} \quad \log_3 x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4;
\)

\(
(\log_3 x — 2)(\log_3 x — 4) \over \log_3 x — 1 \geq 0;
\)

\(
1 < \log_3 x \leq 2, \quad \log_3 x \geq 4;
\)

\(
3 < x \leq 9, \quad x \geq 81;
\)

Ответ: \((3; 9] \cup [81; +\infty)\).

4)
\(
\log_{0.5} x — 2 \log_x 0.5 \leq 1;
\)

\(
\log_{0.5} x — \frac{2}{\log_{0.5} x} — 1 \leq 0;
\)

\(
\frac{\log_{0.5}^2 x — \log_{0.5} x — 2}{\log_{0.5} x} \leq 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}
\)

\(
\log_{0.5} x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad \log_{0.5} x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)

\(
(\log_{0.5} x + 1)(\log_{0.5} x — 2) \leq 0;
\)

\(
\log_{0.5} x \leq -1 < \log_{0.5} x \leq 2;
\)

\(
x \geq 2, \quad (0.25; 1);
\)

Ответ: \([0.25; 1) \cup [2; +\infty)\).

1)
Дано неравенство:
\(
\log_7^2(7x) — \log_7 x \geq 3.
\)

Сначала упростим выражение. Используем свойство логарифмов:
\(
\log_7(7x) = \log_7 7 + \log_7 x = 1 + \log_7 x.
\)

Подставим это в исходное неравенство:
\(
(1 + \log_7 x)^2 — \log_7 x \geq 3.
\)

Раскроем квадрат:
\(
1 + 2 \log_7 x + (\log_7 x)^2 — \log_7 x \geq 3.
\)

Соберём все члены в одну сторону:
\(
(\log_7 x)^2 + 2 \log_7 x — \log_7 x + 1 — 3 \geq 0,
\)
то есть
\(
(\log_7 x)^2 + \log_7 x — 2 \geq 0.
\)

Обозначим \(t = \log_7 x\). Получаем квадратное неравенство:
\(
t^2 + t — 2 \geq 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.
\)

Найдём корни:
\(
t_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad t_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1.
\)

Поскольку коэффициент при \(t^2\) положительный, парабола направлена вверх, и неравенство \(t^2 + t — 2 \geq 0\) выполняется при
\(
t \leq -2 \quad \text{или} \quad t \geq 1.
\)

Возвращаемся к переменной \(x\):
\(
\log_7 x \leq -2 — x \leq 7^{-2} = \frac{1}{49},
\)
\(
\log_7 x \geq 1 — x \geq 7^{1} = 7.
\)

Так как \(x > 0\) (область определения логарифма), итоговое решение:
\(
(0; \frac{1}{49}] \cup (7; +\infty).
\)

Ответ:
\(
(0; \frac{1}{49}] \cup [7; +\infty).
\)

2)
Дано неравенство:
\(
\log_6^2 \frac{x}{216} + 8 \log_6 x — 12 \leq 0.
\)

Разложим логарифм:
\(
\log_6 \frac{x}{216} = \log_6 x — \log_6 216.
\)

Поскольку \(216 = 6^3\), то
\(
\log_6 216 = 3.
\)

Подставим:
\(
(\log_6 x — 3)^2 + 8 \log_6 x — 12 \leq 0.
\)

Раскроем квадрат:
\(
(\log_6 x)^2 — 6 \log_6 x + 9 + 8 \log_6 x — 12 \leq 0,
\)
то есть
\(
(\log_6 x)^2 + 2 \log_6 x — 3 \leq 0.
\)

Обозначим \(t = \log_6 x\). Получаем:
\(
t^2 + 2t — 3 \leq 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.
\)

Корни:
\(
t_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \quad t_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1.
\)

Поскольку коэффициент при \(t^2\) положительный, неравенство выполняется при
\(
-3 \leq t \leq 1.
\)

Возвращаемся к \(x\):
\(
-3 \leq \log_6 x \leq 1 — (6^{-3}; x; 6).
\)

То есть
\(
[\frac{1}{216}; 6].
\)

Ответ:
\(
[\frac{1}{216}; 6].
\)

3)
Дано неравенство:
\(
\frac{\log_3^2 x — 6 \log_3 x + 8}{\log_3 x — 1} \geq 0.
\)

Обозначим \(t = \log_3 x\). Тогда числитель — квадратный трёхчлен:
\(
t^2 — 6t + 8.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4.
\)

Корни:
\(
t_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2, \quad t_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4.
\)

Разложим числитель:
\(
(t — 2)(t — 4).
\)

Неравенство перепишем как:
\(
\frac{(t — 2)(t — 4)}{t — 1} \geq 0.
\)

Знаменатель не равен нулю, то есть \(t \neq 1\).

Рассмотрим знаки выражения на промежутках, определяемых точками \(1, 2, 4\):

— Для \(t < 1\), например \(t=0\): числитель \((0-2)(0-4) = (-2)(-4)=8 > 0\), знаменатель \(0-1=-1 < 0\), дробь отрицательна.
— Для \(1 < t < 2\), например \(t=1.5\): числитель \((1.5-2)(1.5-4) = (-0.5)(-2.5) = 1.25 > 0\), знаменатель положителен, дробь положительна.
— Для \(2 < t < 4\), например \(t=3\): числитель \((3-2)(3-4) = (1)(-1) = -1 < 0\), знаменатель положительный, дробь отрицательна.
— Для \(t > 4\), например \(t=5\): числитель \((5-2)(5-4) = (3)(1) = 3 > 0\), знаменатель положительный, дробь положительна.

Итоговые интервалы, где неравенство верно (включая точки, где числитель равен нулю, но знаменатель не равен нулю):
\(
(1; 2) \cup (4; +\infty).
\)

Переводим обратно к \(x\):
\(
1 < \log_3 x \leq 2 — 3^1 < x \leq 3^2 — 3 < x \leq 9,
\)
\(
\log_3 x \geq 4 — x \geq 3^4 = 81.
\)

Ответ:
\(
(3; 9] \cup [81; +\infty).
\)

4)
Дано неравенство:
\(
\log_{0.5} x — 2 \log_x 0.5 \leq 1.
\)

Используем формулу перехода между основаниями логарифмов:
\(
\log_x 0.5 = \frac{1}{\log_{0.5} x}.
\)

Подставим:
\(
\log_{0.5} x — \frac{2}{\log_{0.5} x} \leq 1.
\)

Перенесём 1 в левую часть:
\(
\log_{0.5} x — \frac{2}{\log_{0.5} x} — 1 \leq 0.
\)

Обозначим \(t = \log_{0.5} x\). Тогда:
\(
t — \frac{2}{t} — 1 \leq 0.
\)

Приведём к общему знаменателю:
\(
\frac{t^2 — t — 2}{t} \leq 0.
\)

Вынесем числитель в факторизованный вид:
\(
t^2 — t — 2 = (t + 1)(t — 2).
\)

Итоговое неравенство:
\(
\frac{(t + 1)(t — 2)}{t} \leq 0.
\)

Определим точки, где выражение равно нулю или не определено:
\(
t = -1, \quad t = 0, \quad t = 2.
\)

Проверим знаки на промежутках, учитывая, что знаменатель \(t \neq 0\):

— Для \(t < -1\), например \(t=-2\): числитель \((-2+1)(-2-2) = (-1)(-4)=4 > 0\), знаменатель \(-2 < 0\), дробь отрицательна.
— Между \(-1\) и \(0\), например \(t=-0.5\): числитель \((-0.5+1)(-0.5-2) = (0.5)(-2.5) = -1.25 < 0\), знаменатель отрицателен, дробь положительна.
— Между \(0\) и \(2\), например \(t=1\): числитель \((1+1)(1-2) = 2 \cdot (-1) = -2 < 0\), знаменатель положителен, дробь отрицательна.
— Для \(t > 2\), например \(t=3\): числитель \((3+1)(3-2) = 4 \cdot 1 = 4 > 0\), знаменатель положителен, дробь положительна.

Выбираем промежутки, где дробь \(\leq 0\):
— \(t \in (-\infty, -1)\) (так как при \(t=-1\) числитель 0, дробь 0),
— \(t \in (0, 2)\) (при \(t=0\) дробь не определена, при \(t=2\) числитель 0, дробь 0).

Теперь учтём область определения логарифмов. Поскольку основание \(0.5\) — число между 0 и 1, функция \(\log_{0.5} x\) убывает, и область определения \(x > 0\).

Переводим обратно к \(x\):

— Для \(t \leq -1\):
\(
\log_{0.5} x \leq -1 — x \geq (0.5)^{-1} = 2.
\)

— Для \(0 < t \leq 2\):
\(
0 < \log_{0.5} x \leq 2 — (0.5)^0 > x \geq (0.5)^2,
\)
то есть
\(
1 > x \geq 0.25.
\)

Объединяем:
\(
x \in (0.25; 1) \cup (2; +\infty).
\)

Ответ:
\(
[0.25; 1) \cup [2; +\infty).
\)