Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \( \log_{1.6} \left( \log_{0.5} (x^2 — x — 6) \right) > 0 \)
2) \( \log_{0.5} \left( \log_{4} (2x^2 + x — 1) \right) < 1 \)
3) \( \log_{\frac{1}{9}} \left( \log_{3} \left( \frac{x}{x-1} \right) \right) > 0 \)
4) \( \log_{1.5} \left( \log_{3} \left( \frac{3x — 5}{x + 1} \right) \right) < 0 \)
1)
\(
\log_{1.6} \log_{0.5} (x^2 — x — 6) \geq 0;
\)
\(
\log_{0.5} (x^2 — x — 6) \geq 1;
\)
\(
x^2 — x — 6 \leq 0.5;
\)
\(
x^2 — x — 6.5 \leq 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 6.5 = 1 + 26 = 27,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — \sqrt{27}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{27}}{2};
\)
\(
\frac{1 — \sqrt{27}}{2} \leq x \leq \frac{1 + \sqrt{27}}{2};
\)
Область определения:
\(
x^2 — x — 6 > 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;
\)
\(
(x + 2)(x — 3) > 0;
\)
\(
x < -2, \quad x > 3;
\)
Ответ:
\(
\left[\frac{1 — \sqrt{27}}{2}; -2 \right) \cup \left(3; \frac{1 + \sqrt{27}}{2}\right].
\)
2)
\(
\log_{0.5} \log_4 (2x^2 + x — 1) < 1;
\)
\(
\log_4 (2x^2 + x — 1) > 0.5;
\)
\(
2x^2 + x — 1 > 2;
\)
\(
2x^2 + x — 3 > 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 + 24 = 25,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = 1;
\)
\(
(x + \frac{3}{2})(x — 1) > 0;
\)
\(
x < -\frac{3}{2}, \quad x > 1;
\)
Ответ: \(\left(-\infty; -\frac{3}{2}\right) \cup (1; +\infty)\).
3) \(\log_{\frac{1}{9}} \log_3 \frac{x}{x-1} \geq 0;\)
\(
\log_3 \frac{x}{x-1} \leq 1;
\)
\(
\frac{x}{x-1} \leq 3;
\)
\(
\frac{3x — 3 — x}{x-1} \geq 0;
\)
\(
\frac{2x — 3}{x-1} \geq 0;
\)
\(
x < 1, \quad x \geq 1.5;
\)
Область определения:
\(
\log_3 \frac{x}{x-1} > 0;
\)
\(
\frac{x}{x-1} > 1;
\)
\(
\frac{(x-1) — x}{x-1} < 0;
\)
\(
\frac{1}{x-1} < 0;
\)
\(
x > 1;
\)
Ответ: \([1.5; +\infty)\).
4) \(\log_{1.5} \log_3 \frac{3x — 5}{x + 1} \leq 0;\)
\(
\log_3 \frac{3x — 5}{x + 1} \leq 1;
\)
\(
\frac{3x — 5}{x + 1} \leq 3;
\)
\(
\frac{(3x — 5) — (3x + 3)}{x + 1} \leq 0;
\)
\(
\frac{-8}{x + 1} \leq 0;
\)
\(
x > -1;
\)
Область определения:
\(
\log_3 \frac{3x — 5}{x + 1} > 0;
\)
\(
\frac{3x — 5}{x + 1} > 1;
\)
\(
\frac{(3x — 5) — (x + 1)}{x + 1} > 0;
\)
\(
\frac{2x — 6}{x + 1} > 0;
\)
\(
x < -1, \quad x > 3;
\)
Ответ: \((3; +\infty)\).
1) Рассмотрим неравенство:
\(
\log_{1.6} \log_{0.5} (x^2 — x — 6) \geq 0.
\)
Поскольку основание логарифма \(1.6 > 1\), то неравенство эквивалентно:
\(
\log_{0.5} (x^2 — x — 6) \geq 1.
\)
Основание логарифма \(0.5\) меньше 1, поэтому при переходе к показательной форме знак неравенства меняется на противоположный:
\(
x^2 — x — 6 \leq 0.5.
\)
Перепишем:
\(
x^2 — x — 6.5 \leq 0.
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6.5) = 1 + 26 = 27.
\)
Корни квадратного уравнения:
\(
x_1 = \frac{1 — \sqrt{27}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{27}}{2}.
\)
Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, значит неравенство верно между корнями:
\(
\frac{1 — \sqrt{27}}{2} \leq x \leq \frac{1 + \sqrt{27}}{2}.
\)
Теперь найдём область определения исходного выражения. Для существования \(\log_{0.5} (x^2 — x — 6)\) нужно:
\(
x^2 — x — 6 > 0.
\)
Рассмотрим уравнение:
\(
x^2 — x — 6 = 0.
\)
Дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25.
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3.
\)
Поскольку парабола направлена вверх, то \(x^2 — x — 6 > 0\) при:
\(
x < -2 \quad \text{или} \quad x > 3.
\)
Объединяем с промежутком из неравенства:
\(
\left(\frac{1 — \sqrt{27}}{2}; \frac{1 + \sqrt{27}}{2}\right) \cap \left((-\infty, -2) \cup (3, +\infty)\right).
\)
Так как \(\frac{1 — \sqrt{27}}{2} < -2\) и \(\frac{1 + \sqrt{27}}{2} > 3\), то ответ:
\(
\left[\frac{1 — \sqrt{27}}{2}; -2 \right) \cup \left(3; \frac{1 + \sqrt{27}}{2}\right].
\)
2) Неравенство:
\(
\log_{0.5} \log_4 (2x^2 + x — 1) < 1.
\)
Основание \(0.5 < 1\), знак меняется при переходе к показательной форме:
\(
\log_4 (2x^2 + x — 1) > 0.5.
\)
Воспользуемся определением логарифма:
\(
2x^2 + x — 1 > 4^{0.5} = 2.
\)
Переносим:
\(
2x^2 + x — 3 > 0.
\)
Рассчитаем дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25.
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{-1 — 5}{4} = -\frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{4} = 1.
\)
Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, неравенство выполняется вне корней:
\(
x < -\frac{3}{2} \quad \text{или} \quad x > 1.
\)
Ответ:
\(
(-\infty; -\frac{3}{2}) \cup (1; +\infty).
\)
3) Неравенство:
\(
\log_{\frac{1}{9}} \log_3 \frac{x}{x-1} \geq 0.
\)
Основание \(\frac{1}{9} < 1\), значит знак неравенства меняется при переходе к показательной форме:
\(
\log_3 \frac{x}{x-1} \leq 1.
\)
Переходим к показательной форме:
\(
\frac{x}{x-1} \leq 3.
\)
Переносим все в одну дробь:
\(
\frac{x}{x-1} — 3 \leq 0 — \frac{x — 3(x-1)}{x-1} \leq 0 — \frac{x — 3x + 3}{x-1} \leq 0,
\)
то есть
\(
\frac{3 — 2x}{x-1} \leq 0.
\)
Перепишем:
\(
\frac{2x — 3}{x-1} \geq 0,
\)
заменив знак на противоположный и умножив на -1.
Найдем нули числителя и знаменателя:
\(
2x — 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} = 1.5,
\)
\(
x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1.
\)
Промежутки:
— \(x < 1\),
— \(1 < x < 1.5\),
— \(x > 1.5\).
Проверим знак выражения \(\frac{2x — 3}{x — 1}\) на каждом из промежутков:
— Для \(x < 1\): числитель \(2x — 3 < 0\), знаменатель \(x — 1 < 0\), дробь положительна (отрицательное деленное на отрицательное).
— Для \(1 < x < 1.5\): числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь отрицательна.
— Для \(x > 1.5\): числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна.
Неравенство требует \(\frac{2x — 3}{x-1} \geq 0\), значит решение:
\(
x < 1 \quad \text{или} \quad x \geq 1.5.
\)
Теперь область определения исходного выражения. Для существования \(\log_3 \frac{x}{x-1}\) нужно:
\(
\frac{x}{x-1} > 0.
\)
Рассмотрим знаки числителя и знаменателя:
— Если \(x > 1\), то числитель и знаменатель положительны, дробь положительна.
— Если \(x < 0\), числитель отрицателен, знаменатель отрицателен, дробь положительна.
— Если \(0 < x < 1\), числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.
То есть область определения:
\(
x < 0 \quad \text{или} \quad x > 1.
\)
Также для логарифма \(\log_3 \frac{x}{x-1}\) подлогарифмическое выражение должно быть положительно.
Дополнительно из условия логарифма во внутреннем логарифме:
\(
\log_3 \frac{x}{x-1} > 0 — \frac{x}{x-1} > 1.
\)
Решим:
\(
\frac{x}{x-1} — 1 > 0 — \frac{x — (x-1)}{x-1} > 0 — \frac{1}{x-1} > 0.
\)
Значит:
\(
x — 1 > 0 — x > 1.
\)
Итоговая область определения и условие:
\(
x > 1.
\)
Пересечение с решением неравенства:
\(
x \geq 1.5.
\)
Ответ:
\(
[1.5; +\infty).
\)
4) Неравенство:
\(
\log_{1.5} \log_3 \frac{3x — 5}{x + 1} \leq 0.
\)
Основание \(1.5 > 1\), значит неравенство эквивалентно:
\(
\log_3 \frac{3x — 5}{x + 1} \leq 1.
\)
Переход к показательной форме:
\(
\frac{3x — 5}{x + 1} \leq 3.
\)
Переносим всё в одну дробь:
\(
\frac{3x — 5}{x + 1} — 3 \leq 0 — \frac{3x — 5 — 3(x + 1)}{x + 1} \leq 0,
\)
то есть
\(
\frac{3x — 5 — 3x — 3}{x + 1} = \frac{-8}{x + 1} \leq 0.
\)
Решаем:
\(
\frac{-8}{x + 1} \leq 0.
\)
Числитель отрицателен, значит знак дроби зависит от знаменателя:
\(
x + 1 > 0 — x > -1.
\)
Область определения исходного выражения требует:
\(
\log_3 \frac{3x — 5}{x + 1} > 0,
\)
то есть
\(
\frac{3x — 5}{x + 1} > 1.
\)
Решаем:
\(
\frac{3x — 5}{x + 1} — 1 > 0 — \frac{3x — 5 — (x + 1)}{x + 1} > 0,
\)
то есть
\(
\frac{2x — 6}{x + 1} > 0.
\)
Находим нули числителя и знаменателя:
\(
2x — 6 = 0 — x = 3,
\)
\(
x + 1 = 0 — x = -1.
\)
Рассмотрим знаки на промежутках:
— Для \(x < -1\): числитель отрицателен, знаменатель отрицателен, дробь положительна.
— Для \(-1 < x < 3\): числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь отрицательна.
— Для \(x > 3\): числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна.
Требуется:
\(
\frac{2x — 6}{x + 1} > 0,
\)
то есть
\(
x < -1 \quad \text{или} \quad x > 3.
\)
Пересекаем с областью определения \(x > -1\) из предыдущего шага:
\(
x > -1,
\)
итого
\(
x > 3.
\)
Ответ:
\(
(3; +\infty).
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.