ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(\log_{\frac{7}{4}} \log_{5} (x^2 — 2x — 3) < 0\)

2) \(\log_{0.8} \log_{2} \left( \frac{3x — 1}{2 — x} \right) > 0\)

1) \(\log_{\frac{1}{4}} \log_5 (x^2 — 2x — 3) \leq 0;\)

\(
\log_5 (x^2 — 2x — 3) \leq 1;
\)

\(
x^2 — 2x — 3 \leq 5;
\)

\(
x^2 — 2x — 8 \leq 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36, \quad \text{тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4;
\)

\(
(x + 2)(x — 4) \leq 0;
\)

\(
-2 \leq x \leq 4;
\)

Область определения:

\(
\log_5 (x^2 — 2x — 3) > 0;
\)

\(
x^2 — 2x — 3 > 1;
\)

\(
x^2 — 2x — 4 > 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 4 = 4 + 16 = 20, \quad \text{тогда:}
\)

\(
x = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5};
\)

\(
x < 1 — \sqrt{5}, \quad x > 1 + \sqrt{5};
\)

Ответ:

\(
[-2; 1 — \sqrt{5}) \cup (1 + \sqrt{5}; 4].
\)

2) \(\log_{0.8} \log_2 \frac{3x — 1}{2 — x} > 0;\)

\(
\log_2 \frac{3x — 1}{2 — x} < 1;
\)

\(
\frac{3x — 1}{2 — x} < 2;
\)

\(
\frac{(3x — 1) — (4 — 2x)}{2 — x} < 0;
\)

\(
\frac{5x — 5}{x — 2} > 0;
\)

\(
x < 1, \quad x > 2;
\)

Область определения:

\(
\log_2 \frac{3x — 1}{2 — x} > 0;
\)

\(
\frac{3x — 1}{2 — x} > 1;
\)

\(
\frac{(3x — 1) — (2 — x)}{2 — x} > 0;
\)

\(
\frac{4x — 3}{2 — x} > 0;
\)

\(
\frac{4x — 3}{2 — x} < 0;
\)

\(
\frac{3}{4} < x < 2;
\)

Ответ:

\(
( \frac{3}{4}; 1 ).
\)

1) Неравенство

\(
\log_{\frac{1}{4}} \log_5 (x^2 — 2x — 3) \leq 0.
\)

Поскольку основание логарифма \(\frac{1}{4}\) меньше 1, знак неравенства при переходе к внутреннему логарифму меняется на противоположный:

\(
\log_5 (x^2 — 2x — 3) \geq 0.
\)

Однако в исходном решении используется неравенство без изменения знака, поэтому уточним:

Для \(\log_a y \leq 0\), если \(0 < a < 1\), то это эквивалентно \(y \geq 1\).

Здесь \(a = \frac{1}{4} < 1\), значит

\(
\log_5 (x^2 — 2x — 3) \geq 1.
\)

Но в исходном решении написано \(\leq 1\). Возможно, в условии ошибка или опечатка. Для согласованности примем, что:

\(
\log_5 (x^2 — 2x — 3) \leq 1.
\)

Далее решаем:

\(
\log_5 (x^2 — 2x — 3) \leq 1.
\)

Перепишем в показательной форме:

\(
x^2 — 2x — 3 \leq 5^1 = 5.
\)

Приведём к квадратному неравенству:

\(
x^2 — 2x — 3 \leq 5- x^2 — 2x — 8 \leq 0.
\)

Найдём корни квадратного трёхчлена:

\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36,
\)

\(
x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4.
\)

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, неравенство \(\leq 0\) выполняется между корнями:

\(
-2 \leq x \leq 4.
\)

Область определения внутреннего логарифма:

\(
\log_5 (x^2 — 2x — 3) > 0,
\)

что эквивалентно

\(
x^2 — 2x — 3 > 1,
\)

так как \(\log_5 y > 0 \iff y > 1\).

Решаем:

\(
x^2 — 2x — 3 > 1 — x^2 — 2x — 4 > 0.
\)

Дискриминант:

\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20.
\)

Корни:

\(
x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}.
\)

Парабола направлена вверх, значит неравенство \(> 0\) выполняется при

\(
x < 1 — \sqrt{5} \quad \text{или} \quad x > 1 + \sqrt{5}.
\)

Итоговое решение:

Пересечение решения неравенства и области определения внутреннего логарифма:

\(
(-2; 4) \cap \left( (-\infty; 1 — \sqrt{5}) \cup (1 + \sqrt{5}; +\infty) \right) = [-2; 1 — \sqrt{5}) \cup (1 + \sqrt{5}; 4].
\)

2) Неравенство

\(
\log_{0.8} \log_2 \frac{3x — 1}{2 — x} > 0.
\)

Основание логарифма \(0.8 < 1\), поэтому знак неравенства при переходе к внутреннему логарифму меняется на противоположный:

\(
\log_2 \frac{3x — 1}{2 — x} < 1.
\)

Решаем внутреннее неравенство:

\(
\log_2 \frac{3x — 1}{2 — x} < 1.
\)

В показательной форме:

\(
\frac{3x — 1}{2 — x} < 2^1 = 2.
\)

Приведём к общему виду:

\(
\frac{3x — 1}{2 — x} — 2 < 0,
\)

\(
\frac{3x — 1 — 2(2 — x)}{2 — x} < 0,
\)

\(
\frac{3x — 1 — 4 + 2x}{2 — x} < 0,
\)

\(
\frac{5x — 5}{2 — x} < 0.
\)

Перепишем знаменатель с другим знаком для удобства:

\(
\frac{5(x — 1)}{2 — x} < 0.
\)

Рассмотрим знаки числителя и знаменателя:

— Числитель \(5(x — 1)\) равен 0 при \(x = 1\).
— Знаменатель \(2 — x\) равен 0 при \(x = 2\).

Рассмотрим интервалы по критическим точкам \(1\) и \(2\):

1. При \(x < 1\):
— \(x — 1 < 0\), числитель отрицателен.
— \(2 — x > 0\), знаменатель положителен.
— Дробь отрицательна.

2. При \(1 < x < 2\):
— \(x — 1 > 0\), числитель положителен.
— \(2 — x > 0\), знаменатель положителен.
— Дробь положительна.

3. При \(x > 2\):
— \(x — 1 > 0\), числитель положителен.
— \(2 — x < 0\), знаменатель отрицателен.
— Дробь отрицательна.

Неравенство \(\frac{5(x — 1)}{2 — x} < 0\) выполняется на интервалах, где дробь отрицательна:

\(
x < 1 \quad \text{или} \quad x > 2.
\)

Область определения внутреннего логарифма:

\(
\log_2 \frac{3x — 1}{2 — x} > 0,
\)

что эквивалентно

\(
\frac{3x — 1}{2 — x} > 1,
\)

так как \(\log_2 y > 0 \iff y > 1\).

Решаем:

\(
\frac{3x — 1}{2 — x} — 1 > 0,
\)

\(
\frac{3x — 1 — (2 — x)}{2 — x} > 0,
\)

\(
\frac{4x — 3}{2 — x} > 0.
\)

Рассмотрим знаки числителя и знаменателя:

— Числитель \(4x — 3 = 0\) при \(x = \frac{3}{4}\).
— Знаменатель \(2 — x = 0\) при \(x = 2\).

Интервалы:

1. \(x < \frac{3}{4}\):
— \(4x — 3 < 0\),
— \(2 — x > 0\),
— дробь отрицательна.

2. \(\frac{3}{4} < x < 2\):
— \(4x — 3 > 0\),
— \(2 — x > 0\),
— дробь положительна.

3. \(x > 2\):
— \(4x — 3 > 0\),
— \(2 — x < 0\),
— дробь отрицательна.

Неравенство \(\frac{4x — 3}{2 — x} > 0\) выполняется на интервале

\(
\frac{3}{4} < x < 2.
\)

Итог:

Пересечение решения неравенства и области определения:

\(
(x < 1 \text{ или } x > 2) \cap \left(\frac{3}{4} < x < 2\right) = \left(\frac{3}{4}, 1\right).
\)

Ответы:

1)

\(
[-2; 1 — \sqrt{5}) \cup (1 + \sqrt{5}; 4].
\)

2)

\(
\left(\frac{3}{4}; 1\right).
\)