ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(\log_{(2x-3)} x > 1\)

2) \(\log_{(x-2)} (2x-9) < 0\)

3) \(\log_{(x+1)} (5-x) > 1\)

4) \(\log_{(x-2)} (2x-7) < 1\)

5) \(\log_{x} (x+2) < 2\)

6) \(\log_{x} (2x^2-3x) < 1\)

1) \(\log_{2x — 3} x > 1;\)
\((2x — 3 — 1)(x — 2x + 3) > 0;\)
\((2x — 4)(3 — x) > 0;\)
\((x — 2)(x — 3) < 0;\)
\(2 < x < 3;\)

Область определения:
\(2x — 3 > 0,\)
\(x > 0;\)
\(x > 1.5, x > 0;\)

Ответ: \((2; 3).\)

2) \(\log_{x — 2} (2x — 9) < 0;\)
\((x — 2 — 1)(2x — 9 — 1) < 0;\)
\((x — 3)(2x — 10) < 0;\)
\((x — 3)(x — 5) < 0;\)
\(3 < x < 5;\)

Область определения:
\(x — 2 > 0,\)
\(2x — 9 > 0;\)
\(x > 2, x > 4.5;\)

Ответ: \((4.5; 5).\)

3) \(\log_{x+1} (5 — x) > 1;\)
\((x + 1 — 1)(5 — x — x — 1) > 0;\)
\(x (4 — 2x) > 0;\)
\(x (x — 2) < 0;\)
\(0 < x < 2;\)

Область определения:
\(x + 1 > 0,\)
\(5 — x > 0;\)
\(x > -1, x < 5;\)

Ответ: \((0; 2).\)

4) \(\log_{x — 2} (2x — 7) < 1;\)
\((x — 2 — 1)(2x — 7 — x + 2) < 0;\)
\((x — 3)(x — 5) < 0;\)
\(3 < x < 5;\)

Область определения:
\(x — 2 > 0,\)
\(2x — 7 > 0;\)
\(x > 2, x > 3.5;\)

Ответ: \((3.5; 5).\)

5) \(\log_x (x + 2) \leq 2;\)
\((x — 1)(x + 2 — x^2) \leq 0;\)
\((x — 1)(x^2 — x — 2) \geq 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,\) тогда:
\(x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;\)
\((x + 1)(x — 1)(x — 2) \geq 0;\)
\(-1 \leq x \leq 1, \quad x \geq 2;\)

Область определения:
\(x > 0,\)
\(x + 2 > 0;\)
\(x \neq 1,\)
\(x > -2;\)

Ответ: \((0; 1) \cup [2; +\infty).\)

6) \(\log_x (2x^2 — 3x) \leq 1;\)
\((x — 1)(2x^2 — 3x — x) \leq 0;\)
\((x — 1)(2x^2 — 4x) \leq 0;\)
\(x(x — 1)(x — 2) \leq 0;\)
\(x \leq 0, \quad 1 \leq x \leq 2;\)

Область определения:
\(2x^2 — 3x > 0;\)
\(x \neq 1,\)
\(x(2x — 3) > 0;\)
\(x < 0, \quad x > 1.5;\)

Ответ: \((1.5; 2].\)

1) Решение неравенства
\(
\log_{2x — 3} x > 1
\)

Шаг 1. Переведём неравенство из логарифмической формы в показательное:

\(
x > (2x — 3)^1 = 2x — 3
\)

Шаг 2. Переносим всё в одну сторону:

\(
x — 2x + 3 > 0 — -x + 3 > 0 — x < 3
\)

Шаг 3. Условие на основание логарифма и аргумент:
— Основание \(2x — 3 > 0\), то есть
\(
2x — 3 > 0 — x > \frac{3}{2} = 1.5
\)
— Аргумент \(x > 0\)

Шаг 4. Поскольку основание логарифма больше 1 (проверим: \(2x-3 > 1\) при \(x > 2\)), знак неравенства сохраняется.

Шаг 5. Объединяем условия:
\(
x > 1.5, \quad x > 0, \quad x < 3
\)

Шаг 6. Проверяем знак выражения \((2x — 4)(3 — x) > 0\), которое получается из преобразования исходного неравенства (из условия логарифма):

\(
(2x — 4)(3 — x) > 0 — (x — 2)(3 — x) > 0 — (x — 2)(x — 3) < 0
\)

Решение:
\(
2 < x < 3
\)

Итоговый ответ с учётом области определения:
\(
(2; 3)
\)

2) Решение неравенства
\(
\log_{x — 2} (2x — 9) < 0
\)

Шаг 1. Переводим в показательное неравенство:

\(
2x — 9 < (x — 2)^0 = 1
\)

Шаг 2. Переносим всё в одну сторону:

\(
2x — 9 — 1 < 0 — 2x — 10 < 0 — x < 5
\)

Шаг 3. Условие на основание и аргумент:
— Основание \(x — 2 > 0 — x > 2\)
— Аргумент \(2x — 9 > 0 — x > \frac{9}{2} = 4.5\)

Шаг 4. Так как основание больше 1 (при \(x > 2\)), знак неравенства сохраняется.

Шаг 5. Рассмотрим произведение:

\(
(x — 3)(2x — 10) < 0 — (x — 3)(x — 5) < 0
\)

Решение:
\(
3 < x < 5
\)

Шаг 6. Объединяем с областью определения:

\(
x > 4.5, \quad 3 < x < 5 — 4.5 < x < 5
\)

Ответ:
\(
(4.5; 5)
\)

3) Решение неравенства
\(
\log_{x+1} (5 — x) > 1
\)

Шаг 1. Перевод в показательное неравенство:

\(
5 — x > (x + 1)^1 = x + 1
\)

Шаг 2. Переносим в одну сторону:

\(
5 — x — x — 1 > 0 — 4 — 2x > 0 — 2x < 4 — x < 2
\)

Шаг 3. Условие на область определения:
— Основание \(x + 1 > 0 — x > -1\)
— Аргумент \(5 — x > 0 — x < 5\)

Шаг 4. Рассмотрим знак произведения из преобразования:

\(
(x + 1 — 1)(5 — x — x — 1) > 0 — x (4 — 2x) > 0
\)

Решаем:

\(
x (4 — 2x) > 0 — x > 0 \quad \text{и} \quad 4 — 2x > 0 — x < 2
\)

Итог:
\(
0 < x < 2
\)

4) Решение неравенства
\(
\log_{x — 2} (2x — 7) < 1
\)

Шаг 1. Переводим в показательное неравенство:

\(
2x — 7 < (x — 2)^1 = x — 2
\)

Шаг 2. Переносим в одну сторону:

\(
2x — 7 — x + 2 < 0 — x — 5 < 0 — x < 5
\)

Шаг 3. Область определения:
— Основание \(x — 2 > 0 — x > 2\)
— Аргумент \(2x — 7 > 0 — x > \frac{7}{2} = 3.5\)

Шаг 4. Рассмотрим произведение:

\(
(x — 2 — 1)(2x — 7 — x + 2) < 0 — (x — 3)(x — 5) < 0
\)

Решение:
\(
3 < x < 5
\)

Шаг 5. Объединяем с областью определения:

\(
x > 3.5, \quad 3 < x < 5 — 3.5 < x < 5
\)

5) Решение неравенства
\(
\log_x (x + 2) \leq 2
\)

Шаг 1. Переводим в показательное неравенство:

\(
x + 2 \leq x^2
\)

Шаг 2. Приводим к стандартному виду:

\(
x + 2 \leq x^2 — 0 \leq x^2 — x — 2
\)

Шаг 3. Решаем квадратное неравенство:

\(
x^2 — x — 2 \geq 0
\)

Находим корни уравнения:

\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
\)

\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2
\)

Шаг 4. По знаку параболы (коэффициент при \(x^2\) положительный), неравенство верно при:

\(
x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 2
\)

Шаг 5. Рассмотрим условие логарифма:

— Основание: \(x > 0\) и \(x \neq 1\) (так как логарифм с основанием 1 не определён)
— Аргумент: \(x + 2 > 0 — x > -2\)

Шаг 6. Объединяем все условия:

\(
x > 0, \quad x \neq 1, \quad \text{и} \quad (x \leq -1 \text{ или } x \geq 2)
\)

Из \(x > 0\) и \(x \leq -1\) пересечения нет, значит остаётся:

\(
x \in (0, 1) \cup [2, +\infty)
\)

6) Решение неравенства
\(
\log_x (2x^2 — 3x) \leq 1
\)

Шаг 1. Переводим в показательное неравенство:

\(
2x^2 — 3x \leq x^1 = x
\)

Шаг 2. Переносим все в одну сторону:

\(
2x^2 — 3x — x \leq 0 — 2x^2 — 4x \leq 0
\)

Шаг 3. Вынесем общий множитель:

\(
2x(x — 2) \leq 0
\)

Шаг 4. Условие на основание и аргумент:
— Основание \(x > 0, x \neq 1\)
— Аргумент \(2x^2 — 3x > 0\)

Шаг 5. Решаем неравенство \(2x^2 — 3x > 0\):

\(
x(2x — 3) > 0
\)

Решение:
\(
x < 0 \quad \text{или} \quad x > \frac{3}{2} = 1.5
\)

Шаг 6. Решаем неравенство:

\(
2x(x — 2) \leq 0
\)

Решение:

\(
x \in [0, 2]
\)

Шаг 7. Объединяем с областью определения:

\(
x > 0, \quad x \neq 1, \quad \text{и} \quad (x < 0 \text{ или } x > 1.5)
\)

Из этого остаётся:

\(
x \in (1.5, 2]
\)