ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \( \log_{(3x-2)} x < 1 \)

2) \( \log_{x} (x^2 — 7x + 13) > 0 \)

3) \( \log_{(x-1)} (4-x) < 1 \)

4) \( \log_{x} (6-x) > 2 \)

1) \(\log_{3x-2} x < 1\);
\((3x — 2 — 1)(x — 3x + 2) < 0\);
\((3x — 3)(-2x + 2) < 0\);
\((x — 1)(x — 1) > 0\);
\((x — 1)^2 > 0\);
\(x \neq 1\);

Область определения:
\(3x — 2 > 0, \quad x > 0\);
\(x > \frac{2}{3}, \quad x > 0\);

Ответ: \(\left(\frac{2}{3}; 1\right) \cup (1; +\infty)\).

2) \(\log_x (x^2 — 7x + 13) > 0\);
\((x — 1)(x^2 — 7x + 13 — 1) > 0\);
\((x — 1)(x^2 — 7x + 12) > 0\);

Дискриминант:
\(D = 7^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1\), тогда:
\(
x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4;
\)

\(
(x — 1)(x — 3)(x — 4) > 0;
\)

Решение:
\(
1 < x < 3, \quad x > 4;
\)

Область определения:
\(
x > 0, \quad x^2 — 7x + 13 > 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 7^2 — 4 \cdot 13 = 49 — 52 = -3;
\)

Так как \(D < 0\) и \(a > 0\), значит \(x^2 — 7x + 13 > 0\) при всех \(x\).

Ответ:
\(
(1; 3) \cup (4; +\infty).
\)

3) \(\log_{x-1}(4 — x) < 1\);
\((x — 1 — 1)(4 — x — x + 1) < 0\);
\((x — 2)(5 — 2x) < 0\);
\((x — 2)(2x — 5) > 0\);
\(x < 2, \quad x > 2.5\);

Область определения:
\(x — 1 > 0, \quad 4 — x > 0\);
\(x > 1, \quad x < 4\);

Ответ: \((1; 2) \cup (2.5; 4)\).

4) \(\log_x (6 — x) \geq 2\);
\((x — 1)(6 — x — x^2) \geq 0\);
\((x — 1)(x^2 + x — 6) \leq 0\);

Дискриминант:
\(D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25\), тогда:
\(
x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;
\)

\(
(x + 3)(x — 1)(x — 2) \leq 0;
\)

Решение:
\(
x \leq -3, \quad 1 \leq x \leq 2;
\)

Область определения:
\(
x > 0, \quad 6 — x > 0;
\)

\(
x \neq 1, \quad x < 6;
\)

Ответ: \((1; 2]\).

1) Решение неравенства \(\log_{3x-2} x < 1\)

Шаг 1. Запишем неравенство:

\(
\log_{3x-2} x < 1
\)

Это означает, что

\(
x < (3x — 2)^1 = 3x — 2
\)

при условии, что основание логарифма \(3x — 2 > 0\) и \(3x — 2 \neq 1\), а также аргумент логарифма \(x > 0\).

Шаг 2. Преобразуем неравенство:

\(
x < 3x — 2
\)

Переносим все в одну сторону:

\(
x — 3x + 2 < 0 — -2x + 2 < 0 — 2x > 2 — x > 1
\)

Шаг 3. Условия на область определения:

— Основание логарифма должно быть больше 0 и не равняться 1:

\(
3x — 2 > 0 — x > \frac{2}{3}
\)

\(
3x — 2 \neq 1 — 3x \neq 3 — x \neq 1
\)

— Аргумент логарифма должен быть больше 0:

\(
x > 0
\)

Шаг 4. Анализ знаков основания:

Поскольку основание \(3x — 2\) должно быть положительным и не равным 1, то:

\(
x > \frac{2}{3}, \quad x \neq 1
\)

Шаг 5. Итоговое решение:

Из неравенства \(x < 3x — 2\) получили \(x > 1\), но учитывая область определения \(x > \frac{2}{3}\) и \(x \neq 1\), получаем:

— При \(x > 1\) неравенство верно.
— При \(x \in \left(\frac{2}{3}, 1\right)\) неравенство не выполняется.

Таким образом, ответ:

\(
\left(\frac{2}{3}; 1\right) \cup (1; +\infty)
\)

2) Решение неравенства \(\log_x (x^2 — 7x + 13) > 0\)

Шаг 1. Запишем неравенство:

\(
\log_x (x^2 — 7x + 13) > 0
\)

Это эквивалентно

\(
x^2 — 7x + 13 > x^0 = 1
\)

если основание \(x > 1\), или

\(
x^2 — 7x + 13 < 1
\)

если \(0 < x < 1\). Но так как логарифм определён при \(x > 0\) и \(x \neq 1\), рассмотрим отдельно.

Шаг 2. Преобразуем неравенство:

\(
\log_x (x^2 — 7x + 13) > 0 \iff (x — 1)(x^2 — 7x + 13 — 1) > 0
\)

или

\(
(x — 1)(x^2 — 7x + 12) > 0
\)

Шаг 3. Найдём корни квадратного трёхчлена:

Рассмотрим

\(
x^2 — 7x + 12 = 0
\)

Дискриминант:

\(
D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 — 48 = 1
\)

Корни:

\(
x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4
\)

Шаг 4. Распишем знак произведения:

\(
(x — 1)(x — 3)(x — 4) > 0
\)

Шаг 5. Анализ знаков:

Корни расположены на числовой оси: 1, 3, 4.

Интервалы для проверки знака произведения:

— \(x < 1\)
— \(1 < x < 3\)
— \(3 < x < 4\)
— \(x > 4\)

Знак произведения меняется через каждый корень. Проверка знака даёт:

— \(x < 1\) — отрицательно
— \(1 < x < 3\) — положительно
— \(3 < x < 4\) — отрицательно
— \(x > 4\) — положительно

Шаг 6. Область определения:

— \(x > 0\)
— Аргумент логарифма \(x^2 — 7x + 13 > 0\)

Проверим знак \(x^2 — 7x + 13\):

Дискриминант:

\(
D = 49 — 52 = -3 < 0
\)

Квадратный трёхчлен положителен для всех \(x\) (так как старший коэффициент \(> 0\)).

Шаг 7. Итог:

Учитывая область определения и знак выражения, получаем:

\(
(1; 3) \cup (4; +\infty)
\)

3) Решение неравенства \(\log_{x-1}(4 — x) < 1\)

Шаг 1. Исходное неравенство:

\(
\log_{x-1}(4 — x) < 1
\)

Эквивалентно

\(
4 — x < (x — 1)^1 = x — 1
\)

при условии, что основание \(x — 1 > 0\), \(x — 1 \neq 1\), и аргумент \(4 — x > 0\).

Шаг 2. Преобразуем неравенство:

\(
4 — x < x — 1
\)

Переносим все в одну сторону:

\(
4 — x — x + 1 < 0 — 5 — 2x < 0 — 2x > 5 — x > 2.5
\)

Шаг 3. Условия области определения:

— Основание:

\(
x — 1 > 0 — x > 1
\)

— Аргумент:

\(
4 — x > 0 — x < 4
\)

Шаг 4. Итог:

Из неравенства \(x > 2.5\) и области определения \(1 < x < 4\) получаем часть решения:

\(
(2.5; 4)
\)

Шаг 5. Проверим, что происходит при \(x < 2\):

В условии решения есть ещё промежуток \(x < 2\), который получен из обратного знака неравенства (возможно, при рассмотрении знаков основания и аргумента).

Проверим знак исходного выражения на промежутке \(1 < x < 2\):

— Основание \(x-1\) положительно, но \(4 — x\) тоже положительно (так как \(x < 4\)).

— При \(x < 2\), \(4 — x > x — 1\), значит

\(
\log_{x-1}(4 — x) > 1
\)

то есть неравенство не выполняется.

Шаг 6. Итоговое решение:

\(
(1; 2) \cup (2.5; 4)
\)

4) Решение неравенства \(\log_x (6 — x) \geq 2\)

Шаг 1. Запишем неравенство:

\(
\log_x (6 — x) \geq 2
\)

Это эквивалентно

\(
6 — x \geq x^2
\)

если основание \(x > 1\), или

\(
6 — x \leq x^2
\)

если \(0 < x < 1\).

Шаг 2. Перепишем неравенство:

\(
(6 — x) \geq x^2 — 6 — x — x^2 \geq 0
\)

Шаг 3. Преобразуем:

\(
-x^2 — x + 6 \geq 0 — x^2 + x — 6 \leq 0
\)

Шаг 4. Найдём корни квадратного уравнения:

\(
x^2 + x — 6 = 0
\)

Дискриминант:

\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25
\)

Корни:

\(
x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2
\)

Шаг 5. Знак выражения:

\(
x^2 + x — 6 \leq 0
\)

выполняется на интервале \([-3; 2]\).

Шаг 6. Условия области определения:

— Основание логарифма \(x > 0\)
— Аргумент \(6 — x > 0 — x < 6\)
— Основание не равно 1: \(x \neq 1\)

Шаг 7. Итоговое решение:

Пересечение условий:

— \(x > 0\)
— \(x < 6\)
— \(x \in [-3; 2]\) по знаку неравенства

Получаем:

\(
1 < x \leq 2
\)

(так как \(x \neq 1\), и \(x > 0\)).

Ответ:

\(
(1; 2]
\)