Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство
\(
\sqrt{2 \cdot 5^x — 1} > 5^x — 2.
\)
\(
\sqrt{2 \cdot 5^x — 1} > 5^x — 2;
\)
\(
2 \cdot 5^x — 1 > 5^{2x} — 4 \cdot 5^x + 4;
\)
\(
5^{2x} — 6 \cdot 5^x + 5 < 0;
\)
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16, \quad \text{тогда:}
\)
\(
5^x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \quad \text{и} \quad 5^x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;
\)
\(
(5^x — 1)(5^x — 5) < 0;
\)
\(
1 < 5^x < 5;
\)
\(
0 < x < 1;
\)
1) Область определения:
\(
2 \cdot 5^x — 1 \geq 0;
\)
\(
2 \cdot 5^x \geq 1;
\)
\(
5^x \geq \frac{1}{2};
\)
\(
x \geq \log_5 \frac{1}{2};
\)
2) Всегда выполняется:
\(
5^x — 2 < 0;
\)
\(
5^x < 2;
\)
\(
x < \log_5 2;
\)
Ответ:
\(
\left[ \log_5 \frac{1}{2}; \, 1 \right)
\)
\(
\sqrt{2 \cdot 5^x — 1} > 5^x — 2.
\)
Шаг 1. Область определения (ОДЗ)
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\(
2 \cdot 5^x — 1 \geq 0,
\)
откуда
\(
2 \cdot 5^x \geq 1,
\)
то есть
\(
5^x \geq \frac{1}{2}.
\)
Применяя логарифм по основанию 5, получаем
\(
x \geq \log_5 \frac{1}{2}.
\)
Шаг 2. Рассмотрение правой части неравенства
Чтобы корень был больше выражения справа, нужно учитывать знак правой части.
Если
\(
5^x — 2 \leq 0,
\)
то правая часть неотрицательной не является, а левая (корень) всегда неотрицательна, значит неравенство истинно в этой области.
Решим неравенство
\(
5^x — 2 < 0,
\)
то есть
\(
5^x < 2,
\)
что даёт
\(
x < \log_5 2.
\)
Шаг 3. Преобразование исходного неравенства
Если \(5^x — 2 > 0\), то можно возвести обе части в квадрат (так как обе положительны):
\(
\sqrt{2 \cdot 5^x — 1} > 5^x — 2 — 2 \cdot 5^x — 1 > (5^x — 2)^2.
\)
Раскроем квадрат:
\(
2 \cdot 5^x — 1 > 5^{2x} — 4 \cdot 5^x + 4.
\)
Переносим всё в левую часть:
\(
2 \cdot 5^x — 1 — 5^{2x} + 4 \cdot 5^x — 4 > 0,
\)
что эквивалентно
\(
-5^{2x} + 6 \cdot 5^x — 5 > 0.
\)
Умножим на \(-1\) (при этом знак неравенства меняется):
\(
5^{2x} — 6 \cdot 5^x + 5 < 0.
\)
Шаг 4. Решение квадратного неравенства относительно \(t = 5^x\)
Рассмотрим
\(
t^2 — 6t + 5 < 0,
\)
где \(t = 5^x > 0\).
Вычислим дискриминант:
\(
D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16.
\)
Корни квадратного уравнения:
\(
t_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad t_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5.
\)
Поскольку коэффициент при \(t^2\) положителен, неравенство
\(
t^2 — 6t + 5 < 0
\)
выполняется при
\(
1 < t < 5.
\)
Подставляем обратно \(t = 5^x\):
\(
1 < 5^x < 5.
\)
Шаг 5. Решение неравенства по \(x\)
Так как функция \(5^x\) строго возрастает, применяем логарифм по основанию 5:
\(
\log_5 1 < x < \log_5 5,
\)
то есть
\(
0 < x < 1.
\)
Шаг 6. Итоговое решение с учётом области определения и знака правой части
Область определения:
\(
x \geq \log_5 \frac{1}{2}.
\)
Область, где правая часть отрицательна:
\(
x < \log_5 2.
\)
Решение из шага 5:
\(
0 < x < 1.
\)
Мы должны взять пересечение всех условий:
— \(x \geq \log_5 \frac{1}{2}\) (область определения),
— \(x < \log_5 2\) (правый член отрицателен, неравенство всегда верно),
— и \(0 < x < 1\) (решение квадратного неравенства).
Заметим, что
\(
\log_5 \frac{1}{2} < 0 < 1 < \log_5 2,
\)
поэтому объединяем условия:
\(
x \in \left[\log_5 \frac{1}{2}; 1\right).
\)
Ответ:
\(
\left[\log_5 \frac{1}{2}; 1\right).
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.