ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство

\(
\sqrt{2 \cdot 5^x — 1} > 5^x — 2.
\)

\(
\sqrt{2 \cdot 5^x — 1} > 5^x — 2;
\)

\(
2 \cdot 5^x — 1 > 5^{2x} — 4 \cdot 5^x + 4;
\)

\(
5^{2x} — 6 \cdot 5^x + 5 < 0;
\)

\(
D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16, \quad \text{тогда:}
\)

\(
5^x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \quad \text{и} \quad 5^x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;
\)

\(
(5^x — 1)(5^x — 5) < 0;
\)

\(
1 < 5^x < 5;
\)

\(
0 < x < 1;
\)

1) Область определения:

\(
2 \cdot 5^x — 1 \geq 0;
\)

\(
2 \cdot 5^x \geq 1;
\)

\(
5^x \geq \frac{1}{2};
\)

\(
x \geq \log_5 \frac{1}{2};
\)

2) Всегда выполняется:

\(
5^x — 2 < 0;
\)

\(
5^x < 2;
\)

\(
x < \log_5 2;
\)

Ответ:

\(
\left[ \log_5 \frac{1}{2}; \, 1 \right)
\)

\(
\sqrt{2 \cdot 5^x — 1} > 5^x — 2.
\)

Шаг 1. Область определения (ОДЗ)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\(
2 \cdot 5^x — 1 \geq 0,
\)

откуда

\(
2 \cdot 5^x \geq 1,
\)

то есть

\(
5^x \geq \frac{1}{2}.
\)

Применяя логарифм по основанию 5, получаем

\(
x \geq \log_5 \frac{1}{2}.
\)

Шаг 2. Рассмотрение правой части неравенства

Чтобы корень был больше выражения справа, нужно учитывать знак правой части.

Если

\(
5^x — 2 \leq 0,
\)

то правая часть неотрицательной не является, а левая (корень) всегда неотрицательна, значит неравенство истинно в этой области.

Решим неравенство

\(
5^x — 2 < 0,
\)

то есть

\(
5^x < 2,
\)

что даёт

\(
x < \log_5 2.
\)

Шаг 3. Преобразование исходного неравенства

Если \(5^x — 2 > 0\), то можно возвести обе части в квадрат (так как обе положительны):

\(
\sqrt{2 \cdot 5^x — 1} > 5^x — 2 — 2 \cdot 5^x — 1 > (5^x — 2)^2.
\)

Раскроем квадрат:

\(
2 \cdot 5^x — 1 > 5^{2x} — 4 \cdot 5^x + 4.
\)

Переносим всё в левую часть:

\(
2 \cdot 5^x — 1 — 5^{2x} + 4 \cdot 5^x — 4 > 0,
\)

что эквивалентно

\(
-5^{2x} + 6 \cdot 5^x — 5 > 0.
\)

Умножим на \(-1\) (при этом знак неравенства меняется):

\(
5^{2x} — 6 \cdot 5^x + 5 < 0.
\)

Шаг 4. Решение квадратного неравенства относительно \(t = 5^x\)

Рассмотрим

\(
t^2 — 6t + 5 < 0,
\)

где \(t = 5^x > 0\).

Вычислим дискриминант:

\(
D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16.
\)

Корни квадратного уравнения:

\(
t_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad t_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5.
\)

Поскольку коэффициент при \(t^2\) положителен, неравенство

\(
t^2 — 6t + 5 < 0
\)

выполняется при

\(
1 < t < 5.
\)

Подставляем обратно \(t = 5^x\):

\(
1 < 5^x < 5.
\)

Шаг 5. Решение неравенства по \(x\)

Так как функция \(5^x\) строго возрастает, применяем логарифм по основанию 5:

\(
\log_5 1 < x < \log_5 5,
\)

то есть

\(
0 < x < 1.
\)

Шаг 6. Итоговое решение с учётом области определения и знака правой части

Область определения:

\(
x \geq \log_5 \frac{1}{2}.
\)

Область, где правая часть отрицательна:

\(
x < \log_5 2.
\)

Решение из шага 5:

\(
0 < x < 1.
\)

Мы должны взять пересечение всех условий:

— \(x \geq \log_5 \frac{1}{2}\) (область определения),
— \(x < \log_5 2\) (правый член отрицателен, неравенство всегда верно),
— и \(0 < x < 1\) (решение квадратного неравенства).

Заметим, что

\(
\log_5 \frac{1}{2} < 0 < 1 < \log_5 2,
\)

поэтому объединяем условия:

\(
x \in \left[\log_5 \frac{1}{2}; 1\right).
\)

Ответ:

\(
\left[\log_5 \frac{1}{2}; 1\right).
\)