ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство

\(
\sqrt{20 \cdot 3^x — 11} > 3^x — 4
\)

\(
\sqrt{20 \cdot 3^x — 11} > 3^x — 4;
\)

\(
20 \cdot 3^x — 11 > 3^{2x} — 8 \cdot 3^x + 16;
\)

\(
3^{2x} — 28 \cdot 3^x + 27 < 0;
\)

\(
D = 28^2 — 4 \cdot 27 = 784 — 108 = 676,
\)

тогда:

\(
3^x_1 = \frac{28 — 26}{2} = 1 \quad \text{и} \quad 3^x_2 = \frac{28 + 26}{2} = 27;
\)

\(
(3^x — 1)(3^x — 27) < 0;
\)

\(
1 < 3^x < 27;
\)

\(
0 < x < 3;
\)

1) Область определения:

\(
20 \cdot 3^x — 11 \geq 0;
\)

\(
20 \cdot 3^x \geq 11;
\)

\(
3^x \geq \frac{11}{20};
\)

\(
x \geq \log_3 \frac{11}{20};
\)

2) Всегда выполняется:

\(
3^x — 4 < 0;
\)

\(
3^x < 4;
\)

\(
x < \log_3 4;
\)

Ответ:

\(
\left[\log_3 \frac{11}{20}, 3 \right).
\)

Шаг 1: Область определения

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\(
20 \cdot 3^x — 11 \geq 0,
\)

откуда

\(
20 \cdot 3^x \geq 11,
\)

\(
3^x \geq \frac{11}{20}.
\)

Переходя к логарифму по основанию 3, получаем:

\(
x \geq \log_3 \frac{11}{20}.
\)

Шаг 2: Анализ неравенства

Чтобы избавиться от корня, возведём обе части неравенства в квадрат, но при этом надо учитывать знак правой части. Для этого рассмотрим два случая:

— Если \(3^x — 4 \leq 0\), то правая часть неотрицательной не является, и неравенство \(\sqrt{\dots} > 3^x — 4\) всегда верно, так как корень по определению неотрицателен, а правая часть не положительна.

— Если \(3^x — 4 > 0\), то можно возвести обе части в квадрат без изменения знака неравенства.

Шаг 3: Рассмотрим случай, когда \(3^x — 4 \leq 0\)

Это значит:

\(
3^x \leq 4,
\)

\(
x \leq \log_3 4.
\)

В этом случае неравенство

\(
\sqrt{20 \cdot 3^x — 11} > 3^x — 4
\)

выполняется всегда, так как левая часть неотрицательна, а правая — не положительна или равна нулю.

Шаг 4: Рассмотрим случай, когда \(3^x — 4 > 0\)

Значит,

\(
3^x > 4,
\)

\(
x > \log_3 4.
\)

В этом случае возведём обе части в квадрат:

\(
20 \cdot 3^x — 11 > (3^x — 4)^2.
\)

Раскроем квадрат:

\(
20 \cdot 3^x — 11 > 3^{2x} — 8 \cdot 3^x + 16.
\)

Перенесём все в левую часть:

\(
20 \cdot 3^x — 11 — 3^{2x} + 8 \cdot 3^x — 16 > 0,
\)

\(
-3^{2x} + 28 \cdot 3^x — 27 > 0,
\)

или умножив на \(-1\) (при этом знак неравенства меняется):

\(
3^{2x} — 28 \cdot 3^x + 27 < 0.
\)

Шаг 5: Решение квадратного неравенства по переменной \(t = 3^x\)

Рассмотрим:

\(
t^2 — 28t + 27 < 0,
\)

где \(t = 3^x > 0\).

Вычислим дискриминант:

\(
D = (-28)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 27 = 784 — 108 = 676.
\)

Корни уравнения:

\(
t_1 = \frac{28 — \sqrt{676}}{2} = \frac{28 — 26}{2} = 1,
\)

\(
t_2 = \frac{28 + \sqrt{676}}{2} = \frac{28 + 26}{2} = 27.
\)

Поскольку коэффициент при \(t^2\) положительный, неравенство

\(
t^2 — 28t + 27 < 0
\)

выполняется при

\(
1 < t < 27.
\)

Шаг 6: Перевод обратно к \(x\)

\(
1 < 3^x < 27.
\)

Левая часть:

\(
3^x > 1 — x > 0,
\)

правая часть:

\(
3^x < 27 — x < 3.
\)

Итого:

\(
0 < x < 3.
\)

Шаг 7: Совместим с областью определения и условием из шага 3

— Область определения: \(x \geq \log_3 \frac{11}{20}\).

— Случай \(3^x — 4 \leq 0\) (то есть \(x \leq \log_3 4\)) — неравенство всегда верно.

— Случай \(3^x — 4 > 0\) (то есть \(x > \log_3 4\)) — решение \(0 < x < 3\).

Проверим пересечение:

— Поскольку \(\log_3 \frac{11}{20} < 0\) (число \(\frac{11}{20} < 1\)), то область определения начинается чуть меньше \(0\).

— Решение неравенства при \(3^x — 4 \leq 0\) — это \(x \in ( \log_3 \frac{11}{20}, \log_3 4)\), где неравенство всегда верно.

— При \(x > \log_3 4\) решение ограничено интервалом \(0 < x < 3\), но так как \(x > \log_3 4 > 0\), то пересечение будет \(x \in (\log_3 4, 3)\).

Шаг 8: Итоговое решение

Объединим решения:

\(
x \in ( \log_3 \frac{11}{20}, \log_3 4) \cup (\log_3 4, 3) = ( \log_3 \frac{11}{20}, 3).
\)

Ответ:

\(
x \in [ \log_3 \frac{11}{20}, 3).
\)