ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство

1) \( \sqrt{-x^2 + 7x — 10} \log_2 (x — 3) < 0 \)

2) \( \sqrt{4 — x^2} \left( \log_3 \left( \frac{x + 1}{x} \right) + 2 \right) < 0 \)

3) \( (x^2 — 2.8x + 1.8) \sqrt{\log_{1/5} |x — 2|} > 0 \)

1) \(\sqrt{-x^2 + 7x — 10} \log_2 (x — 3) \leq 0;\)
\(\log_2 (x — 3) \leq 0;\)
\(0 < x — 3 \leq 1;\)
\(3 < x \leq 4;\)

Область определения:
\(-x^2 + 7x — 10 \geq 0;\)
\(x^2 — 7x + 10 \leq 0;\)
\(D = 7^2 — 4 \cdot 10 = 49 — 40 = 9,\) тогда:
\(x_1 = \frac{7 — 3}{2} = 2\) и \(x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5;\)
\((x — 2)(x — 5) \leq 0;\)
\(2 \leq x \leq 5;\)
Ответ: \((3; 4] \cup \{5\}.\)

2) \(\sqrt{4 — x^2} \left(\log_3 \frac{x + 1}{x} + 2\right) \leq 0;\)
\(\log_3 \frac{x + 1}{x} + 2 \leq 0;\)
\(\log_3 \frac{x + 1}{x} \leq -2;\)
\(\frac{x + 1}{x} \leq \frac{1}{9};\)
\(\frac{9x + 9 — x}{x} \leq 0;\)
\(\frac{8x + 9}{x} \leq 0;\)
\(-\frac{9}{8} \leq x < 0;\)

Область определения:

\(4 — x^2 \geq 0, \quad \frac{x + 1}{x} > 0;\)
\((x + 2)(x — 2) \leq 0, \quad x(x + 1) > 0;\)
\(-2 \leq x \leq 2, \quad x < -1, \quad x > 0;\)
Ответ: \(\left[-\frac{9}{8}; -1\right) \cup \{-2; 2\}.\)

3) \((x^2 — 2.8x + 1.8) \sqrt{\log_{\frac{1}{5}} |x — 2|} \geq 0;\)
\(x^2 — 2.8x + 1.8 \geq 0;\)
\(5x^2 — 14x + 9 \geq 0;\)
\(D = 14^2 — 4 \cdot 5 \cdot 9 = 196 — 180 = 16,\) тогда:
\(x_1 = \frac{14 — 4}{2 \cdot 5} = 1, \quad x_2 = \frac{14 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{18}{10} = 1.8;\)
\((x — 1)(x — 1.8) \geq 0;\)
\(x \leq 1, \quad x \geq 1.8;\)

Область определения:
\(\log_{\frac{1}{5}} |x — 2| \geq 0;\)
\(0 < |x — 2| \leq 1;\)
\(-1 \leq x — 2 \leq 1, \quad x — 2 \neq 0;\)
\(1 \leq x \leq 3, \quad x \neq 2;\)

Ответ: \([1.8; 2) \cup (2; 3] \cup \{1\}.\)

1) Решение неравенства
\(
\sqrt{-x^2 + 7x — 10} \log_2 (x — 3) \leq 0
\)

Шаг 1. Область определения

Подкоренное выражение должно быть неотрицательно:
\(
-x^2 + 7x — 10 \geq 0
\)

Перепишем:
\(
x^2 — 7x + 10 \leq 0
\)

Найдём корни квадратного трёхчлена:
\(
D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 — 40 = 9
\)
\(
x_1 = \frac{7 — 3}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5
\)

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, неравенство
\(
x^2 — 7x + 10 \leq 0
\)
выполняется на промежутке
\(
[2, 5]
\)

Также логарифм определён при
\(
x — 3 > 0 — x > 3
\)

Шаг 2. Решение неравенства с логарифмом

Неравенство можно переписать как:
\(
\sqrt{-x^2 + 7x — 10} \cdot \log_2 (x — 3) \leq 0
\)

Корень \(\sqrt{\ldots}\) неотрицателен, поэтому знак произведения зависит от знака логарифма. Значит,
\(
\log_2 (x — 3) \leq 0
\)

Логарифм меньше или равен нулю, если аргумент лежит в интервале:
\(
0 < x — 3 \leq 1 — 3 < x \leq 4
\)

Шаг 3. Итог

Область определения:
\(
2 \leq x \leq 5
\)

Пересечение с условием на логарифм:
\(
3 < x \leq 4
\)

Проверим граничные точки:
— При \(x=5\), подкоренное выражение равно 0, корень равен 0, произведение равно 0, неравенство выполняется.
— При \(x=4\), логарифм \(\log_2(1) = 0\), произведение равно 0, неравенство выполняется.

Ответ:
\(
(3, 4] \cup \{5\}
\)

2) Решение неравенства
\(
\sqrt{4 — x^2} \left(\log_3 \frac{x + 1}{x} + 2\right) \leq 0
\)

Шаг 1. Область определения

Подкоренное выражение:
\(
4 — x^2 \geq 0 — -2 \leq x \leq 2
\)

Аргумент логарифма должен быть положительным:
\(
\frac{x + 1}{x} > 0
\)

Разобьём на интервалы:
— \(x > 0\) и \(x + 1 > 0 — x > -1\) — тогда для \(x > 0\) дробь положительна.
— \(x < 0\) и \(x + 1 < 0 — x < -1\) — тогда для \(x < -1\) дробь тоже положительна.

Итого:
\(
x > 0 \quad \text{или} \quad x < -1
\)

Шаг 2. Решение неравенства с логарифмом

Перепишем неравенство:
\(
\sqrt{4 — x^2} \left(\log_3 \frac{x + 1}{x} + 2\right) \leq 0
\)

Корень неотрицателен, значит:
\(
\log_3 \frac{x + 1}{x} + 2 \leq 0
\)
\(
\log_3 \frac{x + 1}{x} \leq -2
\)

Переведём из логарифмической формы в показательной:
\(
\frac{x + 1}{x} \leq 3^{-2} = \frac{1}{9}
\)

Приведём к общему знаменателю:
\(
\frac{x + 1}{x} — \frac{1}{9} \leq 0 — \frac{9(x + 1) — x}{9x} \leq 0
\)
\(
\frac{9x + 9 — x}{9x} = \frac{8x + 9}{9x} \leq 0
\)

Так как знаменатель \(9x\) влияет на знак выражения, рассмотрим числитель и знаменатель:
— Числитель: \(8x + 9\)
— Знаменатель: \(9x\)

Неравенство
\(
\frac{8x + 9}{9x} \leq 0
\)
выполняется, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки.

Рассмотрим знаки:
— \(8x + 9 \leq 0 — x \leq -\frac{9}{8}\)
— \(9x > 0 — x > 0\)

Или
— \(8x + 9 > 0 — x > -\frac{9}{8}\)
— \(9x < 0 — x < 0\)

Пересечение с областью определения и условием на знак дроби:
— Для \(x > 0\) числитель положителен, знаменатель положителен — дробь положительна, не подходит.
— Для \(x < 0\), чтобы дробь была \(\leq 0\), нужно \(8x + 9 > 0\) и \(x < 0\), то есть
\(
-\frac{9}{8} < x < 0
\)

Шаг 3. Итог

Область определения:
\(
-2 \leq x \leq 2, \quad x < -1 \quad \text{или} \quad x > 0
\)

Из решения неравенства:
\(
-\frac{9}{8} < x < 0
\)

Пересечение:
\(
\left[-\frac{9}{8}, -1\right) \cup \{-2, 2\}
\)

3) Решение неравенства
\(
(x^2 — 2.8x + 1.8) \sqrt{\log_{\frac{1}{5}} |x — 2|} \geq 0
\)

Шаг 1. Решение квадратного трёхчлена

Рассмотрим:
\(
x^2 — 2.8x + 1.8 \geq 0
\)

Умножим на 5 (для удобства):
\(
5x^2 — 14x + 9 \geq 0
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-14)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 9 = 196 — 180 = 16
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{14 — 4}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1
\)
\(
x_2 = \frac{14 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{18}{10} = 1.8
\)

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, неравенство
\(
5x^2 — 14x + 9 \geq 0
\)
выполняется на промежутках:
\(
(-\infty, 1] \cup [1.8, +\infty)
\)

Шаг 2. Область определения логарифма

Логарифм с основанием \(\frac{1}{5}\), который меньше 1, убывающий. Необходимо, чтобы подкоренное выражение было определено:
\(
\log_{\frac{1}{5}} |x — 2| \geq 0
\)

Это эквивалентно:
\(
|x — 2| \leq 1
\)

И при этом:
\(
x \neq 2
\)

Раскроем модуль:
\(
-1 \leq x — 2 \leq 1 — 1 \leq x \leq 3
\)

Исключаем \(x=2\).

Шаг 3. Итог

Пересечение областей:
\(
(-\infty, 1] \cup [1.8, +\infty)
\)
и
\(
[1, 3] \setminus \{2\}
\)

Получаем:
\(
[1.8, 2) \cup (2, 3] \cup \{1\}
\)