ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство

1) \( \sqrt{-x^2 + 6x — 5} \log_3 (x — 2) < 0 \)

2) \( \frac{(\log_{\sqrt{2}} (x — 3))^2}{x^2 — 4x — 5} > 0 \)

1)
\(
\sqrt{-x^2 + 6x — 5} \log_3 (x — 2) \leq 0;
\)
\(
\log_3 (x — 2) \leq 0;
\)
\(
0 < x — 2 \leq 1;
\)
\(
2 < x \leq 3;
\)

Область определения:
\(
-x^2 + 6x — 5 \geq 0;
\)
\(
x^2 — 6x + 5 \leq 0;
\)
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16,
\)
тогда
\(
x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;
\)
\(
(x — 1)(x — 5) \leq 0;
\)
\(
1 \leq x \leq 5;
\)

Ответ:
\(
(2, 3] \cup \{5\}.
\)

2)
\(
\frac{\log_{\sqrt{2}}(x — 3)}{x^2 — 4x — 5} \geq 0;
\)
\(
x^2 — 4x — 5 > 0, \quad \log_{\sqrt{2}}(x — 3) = 0;
\)
\(
D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5;
\)
\(
(x + 1)(x — 5) > 0, \quad x — 3 = 1;
\)
\(
x > 5, \quad x = 4;
\)

Область определения:
\(
x — 3 > 0, \quad x > 3;
\)

Ответ:
\(
(5, +\infty) \cup \{4\}.
\)

Решить неравенство:

1)
\(
\sqrt{-x^2 + 6x — 5} \log_3 (x — 2) \leq 0;
\)
Для того чтобы произведение было меньше или равно нуля, необходимо, чтобы один из множителей был нулевым, а другой — отрицательным.

Рассмотрим первый множитель:
\(
\sqrt{-x^2 + 6x — 5} \geq 0.
\)
Это неравенство выполняется при условии:
\(
-x^2 + 6x — 5 \geq 0.
\)
Решим это квадратное неравенство:
\(
x^2 — 6x + 5 \leq 0.
\)
Находим дискриминант:
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16.
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5.
\)
Знак произведения определяем по интервалам:
\(
(x — 1)(x — 5) \leq 0.
\)
Решение:
\(
1 \leq x \leq 5.
\)

Теперь рассмотрим второй множитель:
\(
\log_3 (x — 2) \leq 0.
\)
Это неравенство выполняется, когда:
\(
0 < x — 2 \leq 1.
\)
Решение:
\(
2 < x \leq 3.
\)

Объединяя условия, получаем:
\(
(2, 3) \cap [1, 5] = (2, 3].
\)

Ответ:
\(
(2, 3] \cup \{5\}.
\)

2)
Рассмотрим второе неравенство:
\(
\frac{\log_{\sqrt{2}}(x — 3)}{x^2 — 4x — 5} \geq 0.
\)
Для этого необходимо, чтобы числитель и знаменатель имели одинаковый знак.

Начнем с числителя:
\(
\log_{\sqrt{2}}(x — 3) = 0 \Rightarrow x — 3 = 1 \Rightarrow x = 4.
\)
Знак логарифма меняется в зависимости от значения \(x — 3\):
— \(x — 3 > 1 \Rightarrow x > 4\) — логарифм положителен.
— \(x — 3 < 1 \Rightarrow x < 4\) — логарифм отрицателен.

Теперь рассмотрим знаменатель:
\(
x^2 — 4x — 5 > 0.
\)
Находим корни:
\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36.
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5.
\)
Знак произведения определяем по интервалам:
\(
(x + 1)(x — 5) > 0.
\)
Решение:
\(
x < -1 \quad \text{или} \quad x > 5.
\)

Теперь определим область определения:
Логарифм определен при:
\(
x — 3 > 0 \Rightarrow x > 3.
\)

Объединяя условия, получаем:
— Для \(x > 4\) логарифм положителен, и знаменатель положителен при \(x > 5\).
— Для \(x < 4\) логарифм отрицателен, и знаменатель положителен при \(x < -1\).

Таким образом, итоговое решение:
Ответ:
\(
(5, +\infty) \cup \{4\}.
\)