ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Для каждого значения параметра a решите неравенство

\(
(2^x — a) \sqrt{x — 3} > 0
\)

Для всех значений параметра \(a\) решить данное неравенство:

\(
(2^x — a) \sqrt{x — 3} \geq 0;
\)

\(
2^x — a \geq 0;
\)

\(
2^x \geq a;
\)

\(
x \geq \log_2 a;
\)

Область определения:

\(
x — 3 \geq 0, \quad x \geq 3;
\)

Ответ:
если \(a \leq 8\), то \(x \in [3; +\infty)\);
если \(a > 8\), то \(x \in [\log_2 a; +\infty) \cup \{3\}\).

Для всех значений параметра \(a\) решим данное неравенство:

\(
(2^x — a) \sqrt{x — 3} \geq 0.
\)

Сначала рассмотрим два множителя: \(2^x — a\) и \(\sqrt{x — 3}\).

1. Первый множитель:
\(
2^x — a \geq 0
\)
Это неравенство выполняется, когда:
\(
2^x \geq a.
\)
Применяя логарифм по основанию 2, получаем:
\(
x \geq \log_2 a.
\)

2. Второй множитель:
\(
\sqrt{x — 3} \geq 0
\)
Это неравенство выполняется, когда:
\(
x — 3 \geq 0, \quad x \geq 3.
\)

Теперь определим область определения. Для того чтобы оба множителя были неотрицательными, необходимо, чтобы выполнялись оба условия:

— \(x \geq \log_2 a\)
— \(x \geq 3\)

Таким образом, область определения будет:

\(
x \geq \max(\log_2 a, 3).
\)

Теперь рассмотрим два случая в зависимости от значения параметра \(a\):

1. Если \(a \leq 8\):
В этом случае \(\log_2 a \leq 3\). Следовательно, максимальное значение будет равно 3:
\(
x \in [3; +\infty).
\)

2. Если \(a > 8\):
В этом случае \(\log_2 a > 3\). Следовательно, максимальное значение будет равно \(\log_2 a\):
\(
x \in [\log_2 a; +\infty) \cup \{3\}.
\)

Таким образом, окончательный ответ:

— Если \(a \leq 8\), то \(x \in [3; +\infty)\);
— Если \(a > 8\), то \(x \in [\log_2 a; +\infty) \cup \{3\}\).