ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:
\(
\begin{align*}
1) & \quad \log_7 x > 2; \\
2) & \quad \log_5 x < -1; \\
3) & \quad \log_{\frac{1}{2}} x < 5; \\
4) & \quad \log_{\frac{1}{3}} x > 1; \\
5) & \quad \log_2 (5x+1) > 4; \\
6) & \quad \log_{0.6} (x-2) < 2; \\
7) & \quad \log_3 (2x-1) < 3; \\
8) & \quad \log_7 (9x+4) < 2; \\
9) & \quad \log_{0.5} (2x+1) > -2; \\
10) & \quad \log_{0.2} (x+6) > -1.
\end{align*}
\)

1) \(\log_7 x > 2;\)
\(x > 7^2;\)
\(x > 49;\)
Ответ: \((49; +\infty)\).

2) \(\log_5 x \leq -1;\)
\(0 < x \leq 5^{-1};\)
\(0 < x \leq 0.2;\)
Ответ: \((0; 0.2]\).

3) \(\log_{\frac{1}{2}} x \leq 5;\)
\(x \geq \left(\frac{1}{2}\right)^5;\)
\(x \geq \frac{1}{32};\)
Ответ: \(\left[\frac{1}{32}; +\infty\right)\).

4) \(\log_{\frac{1}{3}} x > 1;\)
\(0 < x < \frac{1}{3};\)
Ответ: \(\left(0; \frac{1}{3}\right)\).

5) \(\log_2 (5x + 1) > 4;\)
\(5x + 1 > 16;\)
\(5x > 15;\)
\(x > 3;\)
Ответ: \((3; +\infty)\).

6) \(\log_{0.6} (x — 2) < 2;\)
\(x — 2 > 0.36;\)
\(x > 2.36;\)
Ответ: \((2.36; +\infty)\).

7) \(\log_3 (2x — 1) \leq 3;\)
\(0 < 2x — 1 \leq 27;\)
\(1 < 2x \leq 28;\)
\(0.5 < x \leq 14;\)
Ответ: \((0.5; 14]\).

8) \(\log_7 (9x + 4) \leq 2;\)
\(0 < 9x + 4 \leq 49;\)
\(-4 < 9x \leq 45;\)
\(-\frac{4}{9} < x \leq 5;\)
Ответ: \(\left(-\frac{4}{9}; 5\right]\).

9) \(\log_{0.5} (2x + 1) \geq -2;\)
\(0 < 2x + 1 \leq 4;\)
\(-1 < 2x \leq 3;\)
\(-0.5 < x \leq 1.5;\)
Ответ: \((-0.5; 1.5]\).

10) \(\log_{0.2} (x + 6) \geq -1;\)
\(0 < x + 6 \leq 5;\)
\(-6 < x \leq -1;\)
Ответ: \((-6; -1]\).

1) \(\log_7 x > 2\)

— Область определения: \(x > 0\).
— Поскольку основание логарифма \(7 > 1\), функция возрастает.
— Неравенство \(\log_7 x > 2\) эквивалентно \(x > 7^2\).
— Вычисляем: \(7^2 = 49\).
— Ответ: \(x > 49\), то есть \((49; +\infty)\).

2) \(\log_5 x \leq -1\)

— Область определения: \(x > 0\).
— Основание \(5 > 1\), функция возрастает.
— Неравенство \(\log_5 x \leq -1\) эквивалентно \(x \leq 5^{-1}\).
— Вычисляем: \(5^{-1} = \frac{1}{5} = 0.2\).
— Ответ: \(0 < x \leq 0.2\), то есть \((0; 0.2]\).

3) \(\log_{\frac{1}{2}} x \leq 5\)

— Область определения: \(x > 0\).
— Основание \(\frac{1}{2} < 1\), функция убывает.
— При убывающей функции неравенство меняет знак при переходе из логарифмического в степенное:

\(
\log_{\frac{1}{2}} x \leq 5 \iff x \geq \left(\frac{1}{2}\right)^5
\)

— Вычисляем: \(\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}\).
— Ответ: \(x \geq \frac{1}{32}\), то есть \(\left[\frac{1}{32}; +\infty\right)\).

4) \(\log_{\frac{1}{3}} x > 1\)

— Область определения: \(x > 0\).
— Основание \(\frac{1}{3} < 1\), функция убывает.
— Неравенство:

\(
\log_{\frac{1}{3}} x > 1 \iff x < \left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{1}{3}
\)

— Ответ: \(0 < x < \frac{1}{3}\), то есть \(\left(0; \frac{1}{3}\right)\).

5) \(\log_2 (5x + 1) > 4\)

— Область определения: \(5x + 1 > 0 — x > -\frac{1}{5}\).
— Основание \(2 > 1\), функция возрастает.
— Неравенство:

\(
5x + 1 > 2^4 = 16
\)

— Решаем:

\(
5x > 15 — x > 3
\)

— Ответ: \(x > 3\), то есть \((3; +\infty)\).

6) \(\log_{0.6} (x — 2) < 2\)

— Область определения: \(x — 2 > 0 — x > 2\).
— Основание \(0.6 < 1\), функция убывает.
— Неравенство:

\(
\log_{0.6} (x — 2) < 2 — x — 2 > 0.6^2 = 0.36
\)

— Решаем:

\(
x > 2 + 0.36 = 2.36
\)

— Ответ: \(x > 2.36\), то есть \((2.36; +\infty)\).

7) \(\log_3 (2x — 1) \leq 3\)

— Область определения: \(2x — 1 > 0 — x > 0.5\).
— Основание \(3 > 1\), функция возрастает.
— Неравенство:

\(
2x — 1 \leq 3^3 = 27
\)

— Решаем:

\(
2x \leq 28 — x \leq 14
\)

— Учитывая область определения:

\(
0.5 < x \leq 14
\)

— Ответ: \((0.5; 14]\).

8) \(\log_7 (9x + 4) \leq 2\)

— Область определения: \(9x + 4 > 0 — x > -\frac{4}{9}\).
— Основание \(7 > 1\), функция возрастает.
— Неравенство:

\(
9x + 4 \leq 7^2 = 49
\)

— Решаем:

\(
9x \leq 45 — x \leq 5
\)

— Учитывая область определения:

\(
-\frac{4}{9} < x \leq 5
\)

— Ответ: \(\left(-\frac{4}{9}; 5\right]\).

9) \(\log_{0.5} (2x + 1) \geq -2\)

— Область определения: \(2x + 1 > 0 — x > -0.5\).
— Основание \(0.5 < 1\), функция убывает.
— Неравенство:

\(
2x + 1 \leq 0.5^{-2} = 4
\)

— Решаем:

\(
2x \leq 3 — x \leq 1.5
\)

— Учитывая область определения:

\(
-0.5 < x \leq 1.5
\)

— Ответ: \((-0.5; 1.5]\).

10) \(\log_{0.2} (x + 6) \geq -1\)

— Область определения: \(x + 6 > 0 — x > -6\).
— Основание \(0.2 < 1\), функция убывает.
— Неравенство:

\(
x + 6 \leq 0.2^{-1} = 5
\)

— Решаем:

\(
x \leq -1
\)

— Учитывая область определения:

\(
-6 < x \leq -1
\)

— Ответ: \((-6; -1]\).