ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
(3^x — a) \cdot (x — 2) < 0
\)

Для всех значений параметра \(a\) решить данное неравенство:

\(
(3^x — a) \sqrt{x — 2} \leq 0;
\)

\(
3^x — a \leq 0;
\)

\(
3^x \leq a;
\)

\(
x \leq \log_3 a;
\)

Область определения:

\(
x — 2 \geq 0, \quad x \geq 2;
\)

Ответ:
если \(a \leq 9\), то \(x = 2\);
если \(a > 9\), то \(x \in [2; \log_3 a]\).

Для всех значений параметра \(a\) необходимо решить неравенство:

\(
(3^x — a) \sqrt{x — 2} \leq 0.
\)

Рассмотрим два множителя неравенства. Сначала проанализируем первый множитель:

\(
3^x — a \leq 0.
\)

Это неравенство можно переписать в виде:

\(
3^x \leq a.
\)

Принимая логарифм по основанию 3, получаем:

\(
x \leq \log_3 a.
\)

Теперь рассмотрим второй множитель:

\(
\sqrt{x — 2}.
\)

Для того чтобы извлечение квадратного корня было определено, необходимо, чтобы:

\(
x — 2 \geq 0,
\)

что приводит к условию:

\(
x \geq 2.
\)

Таким образом, область определения нашего неравенства состоит из двух условий:

1. \(x \geq 2\)
2. \(x \leq \log_3 a\)

Теперь объединим эти условия. Мы можем записать:

\(
2 \leq x \leq \log_3 a.
\)

Теперь рассмотрим два случая в зависимости от значения параметра \(a\):

1. Если \(a \leq 9\):
— В этом случае \(\log_3 a \leq 2\). Таким образом, единственным решением будет \(x = 2\).

2. Если \(a > 9\):
— Здесь \(\log_3 a > 2\). Следовательно, решение будет в интервале:

\(
x \in [2; \log_3 a].
\)

Таким образом, окончательный ответ можно сформулировать следующим образом:

— Если \(a \leq 9\), то \(x = 2\);
— Если \(a > 9\), то \(x \in [2; \log_3 a]\).