ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите систему неравенств

\(
\begin{cases}
\log_x (2 \sin(x) + 1) < 0, \\
0 < x < 2\pi.
\end{cases}
\)

Решить систему неравенств:
\(
\begin{cases}
\log_x(2 \sin x + 1) \leq 0; \\
0 < x < 2\pi
\end{cases}
\)

1) Первое неравенство:
\(
\log_x(2 \sin x + 1) \leq 0;
(x — 1)(2 \sin x + 1 — 1) \leq 0;
(x — 1) \cdot \sin x \leq 0;
\)

2) Если \(x > 1\), тогда:
\(
\sin x \leq 0;
-\pi + 2\pi n \leq x \leq 2\pi n;
\)

3) Если \(0 < x < 1\), тогда:
\(
\sin x \geq 0;
2\pi n \leq x \leq \pi + 2\pi n;
\)

4) Область определения:
\(
2 \sin x + 1 > 0;
2 \sin x > -1;
\sin x > -\frac{1}{2};
\)

\(
\frac{\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n;
\)

Ответ:
\(
(0; 1) \cup [\pi; \frac{7\pi}{6}) \cup (\frac{11\pi}{6}; 2\pi)
\)

\(
\begin{cases}
\log_x(2 \sin x + 1) \leq 0; \\
0 < x < 2\pi
\end{cases}
\)

1. Первое неравенство:

\(
\log_x(2 \sin x + 1) \leq 0
\)

Применяя свойства логарифма, получаем:

\(
(x — 1)(2 \sin x + 1 — 1) \leq 0
\)

Упростим выражение:

\(
(x — 1) \cdot \sin x \leq 0
\)

Теперь рассмотрим два случая в зависимости от \(x\):

2. Если \(x > 1\), тогда:

\(
\sin x \leq 0
\)

Решение данного неравенства для синуса:

\(
-\pi + 2\pi n \leq x \leq 2\pi n
\)

где \(n \in \mathbb{Z}\).

3. Если \(0 < x < 1\), тогда:

\(
\sin x \geq 0
\)

Решение данного неравенства для синуса:

\(
2\pi n \leq x \leq \pi + 2\pi n
\)

где \(n \in \mathbb{Z}\).

4. Область определения:

Для логарифма необходимо, чтобы аргумент был положительным:

\(
2 \sin x + 1 > 0
\)

Упростим:

\(
2 \sin x > -1
\)

Разделим обе части на \(2\):

\(
\sin x > -\frac{1}{2}
\)

Решение данного неравенства для синуса:

\(
\frac{\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n
\)

где \(n \in \mathbb{Z}\).

Объединяя все результаты, получаем ответ:

\(
(0; 1) \cup [\pi; \frac{7\pi}{6}) \cup (\frac{11\pi}{6}; 2\pi)
\)