ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите систему неравенств

\(
\begin{cases}
\log_x(2\cos(x) + 1) > 0 \\
0 < x < 2\pi
\end{cases}
\)

Решить систему неравенств:
\(
\begin{cases}
\log_x(2 \cos x + 1) \leq 0; \\
0 < x < 2\pi
\end{cases}
\)

1) Первое неравенство:
\(
\log_x(2 \cos x + 1) \leq 0;
\)
\(
(x — 1)(2 \cos x + 1 — 1) \leq 0;
\)
\(
(x — 1) \cdot \cos x \leq 0;
\)

2) Если \(x > 1\), тогда:
\(
\cos x \leq 0;
\)
\(
\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;
\)

3) Если \(0 < x < 1\), тогда:
\(
\cos x \geq 0;
\)
\(
-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n;
\)

4) Область определения:
\(
2 \cos x + 1 > 0;
\)
\(
2 \cos x > -1;
\)
\(
\cos x > -\frac{1}{2};
\)
\(
\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n;
\)

Ответ:
\(
(0; 1) \cup \left[\frac{\pi}{2}; \frac{2\pi}{3}\right) \cup \left(\frac{4\pi}{3}; \frac{3\pi}{2}\right]
\)

Решить систему неравенств:
\(
\begin{cases}
\log_x(2 \cos x + 1) \leq 0; \\
0 < x < 2\pi
\end{cases}
\)

1) Первое неравенство:
\(
\log_x(2 \cos x + 1) \leq 0;
\)
Для неравенства логарифма, имеем:
\(
(x — 1)(2 \cos x + 1 — 1) \leq 0;
\)
Это упрощается до:
\(
(x — 1) \cdot \cos x \leq 0;
\)

2) Если \(x > 1\), тогда:
\(
\cos x \leq 0;
\)
Это означает, что \(x\) находится в интервале:
\(
\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;
\)

3) Если \(0 < x < 1\), тогда:
\(
\cos x \geq 0;
\)
В этом случае \(x\) находится в интервале:
\(
-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n;
\)

4) Область определения:
Для того чтобы логарифм был определен, необходимо, чтобы:
\(
2 \cos x + 1 > 0;
\)
Это приводит к неравенству:
\(
2 \cos x > -1;
\)
И, следовательно:
\(
\cos x > -\frac{1}{2};
\)
Это неравенство выполняется в интервале:
\(
\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n;
\)

Ответ:
Объединяя все найденные интервалы, мы получаем:
\(
(0; 1) \cup \left[\frac{\pi}{2}; \frac{2\pi}{3}\right) \cup \left(\frac{4\pi}{3}; \frac{3\pi}{2}\right]
\)