ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство

\(
\left(\sqrt{x + 2} + 1\right) \cdot \log_3 \left(x^2 + 4x + 13\right) > 2.
\)

Решить неравенство:
\(
(\sqrt{x+2} + 1) \log_3(x^2 + 4x + 13) \geq 2;
\)

1) Первая функция:
\(
y = \sqrt{x+2} + 1;
\)
\(
\sqrt{x+2} \geq 0;
\)
\(
\sqrt{x+2} + 1 \geq 1;
\)
\(
y \geq 1;
\)

2) Вторая функция:
\(
g = \log_3(x^2 + 4x + 13);
\)
\(
x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2;
\)
\(
g_0 = 4 — 8 + 13 = 9;
\)
\(
\log_3(x^2 + 4x + 13) \geq \log_3 9;
\)
\(
g \geq 2;
\)

3) Область определения:
\(
x + 2 \geq 0, \quad x \geq -2;
\)

Ответ:
\(
[-2; +\infty)
\)

Решим неравенство:
\(
(\sqrt{x+2} + 1) \log_3(x^2 + 4x + 13) \geq 2.
\)

Шаг 1. Область определения

1) Подкоренное выражение в корне должно быть неотрицательным:
\(
x + 2 \geq 0 — x \geq -2.
\)

2) Аргумент логарифма должен быть положительным:
\(
x^2 + 4x + 13 > 0.
\)

Рассмотрим выражение под логарифмом:
\(
x^2 + 4x + 13.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 — 52 = -36 < 0.
\)

Поскольку дискриминант отрицательный, квадратный трехчлен положителен для всех \(x\). Значит, область определения по логарифму — вся числовая ось.

Итоговая область определения неравенства:
\(
x \geq -2.
\)

Шаг 2. Анализ функций

Обозначим:
\(
y = \sqrt{x+2} + 1,
\)
\(
g = \log_3(x^2 + 4x + 13).
\)

1) Рассмотрим \(y\):
\(
\sqrt{x+2} \geq 0 — y = \sqrt{x+2} + 1 \geq 1.
\)

2) Рассмотрим \(g\):

Вершина параболы \(x^2 + 4x + 13\) находится в точке
\(
x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2.
\)

Значение функции в вершине:
\(
g_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 13 = 4 — 8 + 13 = 9.
\)

Тогда
\(
g = \log_3(x^2 + 4x + 13) \geq \log_3 9 = 2,
\)
поскольку \(x^2 + 4x + 13 \geq 9\) для всех \(x\).

Проверим неравенство \(x^2 + 4x + 13 \geq 9\):
\(
x^2 + 4x + 13 \geq 9 — x^2 + 4x + 4 \geq 0 — (x+2)^2 \geq 0,
\)
что верно для всех \(x\).

Шаг 3. Решение исходного неравенства

Исходное неравенство:
\(
(\sqrt{x+2} + 1) \log_3(x^2 + 4x + 13) \geq 2.
\)

Подставим обозначения:
\(
y \cdot g \geq 2.
\)

Из анализа знаем, что
\(
y \geq 1,
\)
\(
g \geq 2.
\)

Если \(g \geq 2\), а \(y \geq 1\), то
\(
y \cdot g \geq 1 \cdot 2 = 2.
\)

Проверим, при каких \(x\) достигается \(g \geq 2\), то есть
\(
\log_3(x^2 + 4x + 13) \geq 2 — x^2 + 4x + 13 \geq 9,
\)
что, как показано, верно для всех \(x\).

Таким образом, при любом \(x \geq -2\) выполняется исходное неравенство.

Ответ:
\(
x \in [-2, +\infty).
\)