ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство

\(
\log_3 (\sqrt{x-1} + 3) \cdot \log_5 (x^2 + x + 3) > 1
\)

1) Первая функция:
\(
y = \log_3(\sqrt{x — 1} + 3);
\)
\(
\sqrt{x — 1} \geq 0;
\)
\(
\sqrt{x — 1} + 3 \geq 3;
\)
\(
\log_3(\sqrt{x — 1} + 3) \geq \log_3 3;
\)
\(
y \geq 1;
\)

2) Вторая функция:
\(
g = \log_5(x^2 + x + 3);
\)
\(
x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2};
\)
\(
g_0 = g(1) = 1 + 1 + 3 = 5;
\)
\(
\log_5(x^2 + x + 3) \geq \log_5 5;
\)
\(
g \geq 1;
\)

3) Область определения:
\(
x — 1 \geq 0, \quad x \geq 1;
\)

Ответ:
\(
[1; +\infty).
\)

1) Первая функция:
\(
y = \log_3(\sqrt{x — 1} + 3);
\)
Для того чтобы логарифм был определён, необходимо, чтобы аргумент был больше нуля:
\(
\sqrt{x — 1} + 3 > 0.
\)
Так как \(\sqrt{x — 1} \geq 0\), это условие всегда выполняется при \(x \geq 1\).
Далее, учитывая, что \(\sqrt{x — 1} \geq 0\), мы имеем:
\(
\sqrt{x — 1} \geq 0;
\)
Это условие также выполняется при \(x \geq 1\).
Теперь, чтобы найти, когда \(y \geq 1\), запишем:
\(
\log_3(\sqrt{x — 1} + 3) \geq \log_3 3.
\)
Так как логарифм является возрастающей функцией, это неравенство эквивалентно:
\(
\sqrt{x — 1} + 3 \geq 3.
\)
Упрощая, получаем:
\(
\sqrt{x — 1} \geq 0,
\)
что выполняется при \(x \geq 1\). Таким образом, для первой функции мы имеем:
\(
y \geq 1.
\)

2) Вторая функция:
\(
g = \log_5(x^2 + x + 3).
\)
Для нахождения экстремума функции \(g\) найдем её производную и приравняем к нулю:
\(
g’ = \frac{2x + 1}{(x^2 + x + 3) \ln(5)}.
\)
Приравнивая к нулю, получаем:
\(
2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}.
\)
Теперь подставим значение \(x = 1\) для нахождения значения функции:
\(
g_0 = g(1) = \log_5(1^2 + 1 + 3) = \log_5(5) = 1.
\)
Таким образом, мы имеем:
\(
\log_5(x^2 + x + 3) \geq \log_5 5.
\)
Так как логарифм также является возрастающей функцией, это неравенство эквивалентно:
\(
x^2 + x + 3 \geq 5.
\)
Упрощая, получаем:
\(
x^2 + x — 2 \geq 0.
\)
Факторизуем данное выражение:
\(
(x — 1)(x + 2) \geq 0.
\)
Решая это неравенство, находим, что оно выполняется при \(x \leq -2\) или \(x \geq 1\). Таким образом, для второй функции мы имеем:
\(
g \geq 1.
\)

3) Область определения:
Необходимо учесть область определения обеих функций. Для первой функции:
\(
x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1.
\)
Для второй функции область определения также включает все действительные числа, так как \(x^2 + x + 3 > 0\) для всех \(x\). Таким образом, область определения для всей системы будет:
\(
x \geq 1.
\)

Ответ:
С учетом всех условий, окончательное решение неравенства будет записано в виде интервала:
\(
[1; +\infty).
\)