ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сколько целых решений имеет неравенство:

1) \(\log_{0.25}(3x — 5) > -3\)

2) \(\log_{3}(7 — x) < 3\)

1) \(\log_{0,25}(3x — 5) > -3;\)
\(0 < 3x — 5 < \left(\frac{1}{4}\right)^{-3};\)
\(0 < 3x — 5 < 64;\)
\(5 < 3x < 69;\)
\(\frac{5}{3} < x < 23;\)
\(1 \frac{2}{3} < x < 23;\)
\(n = 22 — 1 = 21;\)
Ответ: 21.

2) \(\log_3 (7 — x) < 3;\)
\(0 < 7 — x < 3^3;\)
\(0 < 7 — x < 27;\)
\(-20 < x < 7;\)
\(n = 20 + 6 = 26;\)
Ответ: 26.

Задача 1

Дано неравенство:

\(
\log_{0.25}(3x — 5) > -3
\)

1. Область определения логарифма:
\(
3x — 5 > 0 — 3x > 5 — x > \frac{5}{3}
\)

2. Основание логарифма \(0.25 = \frac{1}{4}\), то есть основание меньше 1. Логарифмическая функция убывает, поэтому при переходе от логарифмического неравенства к степенному знак неравенства меняется на противоположный.

3. Перепишем неравенство в степенной форме:

\(
3x — 5 < \left(\frac{1}{4}\right)^{-3}
\)

4. Вычислим правую часть:

\(
\left(\frac{1}{4}\right)^{-3} = 4^3 = 64
\)

5. Теперь имеем систему:

\(
\begin{cases}
3x — 5 > 0 \\
3x — 5 < 64
\end{cases}
\)

6. Решаем каждое неравенство:

\(
3x > 5 — x > \frac{5}{3}
\)

\(
3x < 69 — x < 23
\)

7. Итоговое решение:

\(
\frac{5}{3} < x < 23
\)

8. Теперь найдём количество целых чисел \(x\), удовлетворяющих этому неравенству.

\(
\frac{5}{3} = 1.\overline{6}
\)

Значит, целые \(x\) начинаются с 2 и идут до 22 включительно.

Количество таких чисел:

\(
22 — 2 + 1 = 21
\)

Ответ: 21.

Задача 2

Дано неравенство:

\(
\log_3 (7 — x) < 3
\)

1. Область определения логарифма:

\(
7 — x > 0 — x < 7
\)

2. Основание логарифма 3 больше 1, функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется при переходе к степенному виду:

\(
7 — x < 3^3
\)

3. Вычислим правую часть:

\(
3^3 = 27
\)

4. Получаем систему:

\(
\begin{cases}
7 — x > 0 \\
7 — x < 27
\end{cases}
\)

5. Решаем каждое неравенство:

\(
7 — x > 0 — x < 7
\)

\(
7 — x < 27 — -x < 20 — x > -20
\)

6. Итоговое решение:

\(
-20 < x < 7
\)

7. Найдём количество целых чисел \(x\), удовлетворяющих этому неравенству.

Целые числа начинаются с \(-19\) и идут до 6 включительно.

Количество таких чисел:

\(
6 — (-19) + 1 = 6 + 19 + 1 = 26
\)

Ответ: 26.