ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите целые решения неравенства:

1) \(\log_{0.5} (1 — x) > -1\)

2) \(\log_{36} (x + 1) < 0.5\)

1) \(\log_{0.5}(1 — x) > -1;\)

\(
0 < 1 — x < \left(\frac{1}{2}\right)^{-1};
\)

\(
0 < 1 — x < 2;
\)

\(
-1 < x \leq 1;
\)

Ответ: 0.

2) \(\log_{36}(x + 1) \leq 0.5;\)

\(
0 < x + 1 \leq 36^{\frac{1}{2}};
\)

\(
0 < x + 1 \leq 6;
\)

\(
-1 < x \leq 5;
\)

Ответ: \(0; 1; 2; 3; 4; 5.\)

1) Неравенство:

\(
\log_{0.5}(1 — x) > -1
\)

Шаг 1. Область определения логарифма:

\(
1 — x > 0 — x < 1
\)

Шаг 2. Основание логарифма \(0.5 = \frac{1}{2}\) — меньше 1, поэтому логарифмическая функция убывает. При переходе от логарифмического неравенства к степенному знак неравенства меняется на противоположный.

Шаг 3. Перепишем неравенство в степенной форме:

\(
1 — x < \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}
\)

Шаг 4. Вычислим правую часть:

\(
\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2
\)

Шаг 5. Теперь имеем систему неравенств:

\(
\begin{cases}
0 < 1 — x < 2 \\
x < 1
\end{cases}
\)

Первая часть \(0 < 1 — x\) уже учтена в области определения.

Шаг 6. Решаем неравенство:

\(
1 — x < 2 — -x < 1 — x > -1
\)

Итак,

\(
-1 < x < 1
\)

С учётом области определения \(x < 1\) итог:

\(
-1 < x < 1
\)

Шаг 7. Найдём целые значения \(x\), удовлетворяющие этому неравенству. Целые числа \(x\), лежащие между \(-1\) и \(1\) (не включая границы), — это число 0.

Ответ: 0.

2) Неравенство:

\(
\log_{36}(x + 1) \leq 0.5
\)

Шаг 1. Область определения логарифма:

\(
x + 1 > 0 — x > -1
\)

Шаг 2. Основание логарифма 36 больше 1, функция возрастает, знак неравенства сохраняется при переходе к степенному виду:

\(
x + 1 \leq 36^{0.5}
\)

Шаг 3. Вычисляем правую часть:

\(
36^{0.5} = \sqrt{36} = 6
\)

Шаг 4. Получаем систему:

\(
\begin{cases}
x + 1 > 0 \\
x + 1 \leq 6
\end{cases}
\)

Или

\(
-1 < x \leq 5
\)

Шаг 5. Найдём целые значения \(x\), удовлетворяющие этому неравенству:

\(
x = 0, 1, 2, 3, 4, 5
\)

Ответ: \(0; 1; 2; 3; 4; 5\).