ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

1) \( \lg(2x+3) > \lg(x-1) \)

2) \( \log_5(2x) < \log_5(x+1) \)

3) \( \log_{0.2}(2x-1) > \log_{0.2}(3x-4) \)

4) \( \log_{0.4}(x^2-3) < \log_{0.4}(x+3) \)

5) \( \log_{0.7}(x^2-2x-3) < \log_{0.7}(9-x) \)

6) \( \log_{1/3}(x^2+x+31) < \log_{1/3}(10x+11) \)

1) \(\lg(2x + 3) > \lg(x — 1)\);

\(
2x + 3 > x — 1;
\)

\(
x > -4;
\)

Область определения:

\(
x — 1 > 0, \quad x > 1;
\)

Ответ: \((1; +\infty)\).

2) \(\log_5 2x < \log_5 (x + 1)\);

\(
2x < x + 1;
\)

\(
x < 1;
\)

Область определения:

\(
2x > 0, \quad x > 0;
\)

Ответ: \((0; 1)\).

3) \(\log_{0.2} (2x — 1) > \log_{0.2} (3x — 4)\);

\(
2x — 1 < 3x — 4;
\)

\(
x > 3;
\)

Область определения:

\(
2x — 1 > 0, \quad x > 0.5;
\)

Ответ: \((3; +\infty)\).

4) \(\log_{0.4} (x^2 — 3) < \log_{0.4} (x + 3)\);

\(
x^2 — 3 > x + 3;
\)

\(
x^2 — x — 6 > 0;
\)

Дискриминант:

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25,
\)

тогда корни:

\(
x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;
\)

\(
(x + 2)(x — 3) > 0;
\)

\(
x < -2, \quad x > 3;
\)

Область определения:

\(
x + 3 > 0, \quad x > -3;
\)

Ответ: \((-3; -2) \cup (3; +\infty)\).

5) \(\log_{0.7} (x^2 — 2x — 3) \leq \log_{0.7} (9 — x);\)

\(
x^2 — 2x — 3 \geq 9 — x;
\)

\(
x^2 — x — 12 \geq 0;
\)

Дискриминант:

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49,
\)

тогда корни:

\(
x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4;
\)

\(
(x + 3)(x — 4) \geq 0;
\)

\(
x \leq -3, \quad x \geq 4;
\)

Область определения:

\(
9 — x > 0, \quad x < 9;
\)

Ответ: \((-\infty; -3] \cup (4; 9)\).

6) \(\log_{\frac{1}{3}} (x^2 + x + 31) \leq \log_{\frac{1}{3}} (10x + 11);\)

\(
x^2 + x + 31 \geq 10x + 11;
\)

\(
x^2 — 9x + 20 \geq 0;
\)

Дискриминант:

\(
D = 9^2 — 4 \cdot 20 = 81 — 80 = 1,
\)

тогда корни:

\(
x_1 = \frac{9 — 1}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{9 + 1}{2} = 5;
\)

\(
(x — 4)(x — 5) \geq 0;
\)

\(
x \leq 4, \quad x \geq 5;
\)

Область определения:

\(
10x + 11 > 0, \quad x > -\frac{11}{10};
\)

Ответ: \(\left(-\frac{11}{10}; 4\right] \cup (5; +\infty)\).

1) Неравенство:
\(
\lg(2x + 3) > \lg(x — 1)
\)

Так как логарифм по основанию больше 1 (обычно десятичный), то неравенство равносильно сравнению подлогарифмических выражений:
\(
2x + 3 > x — 1
\)

Решаем:
\(
2x + 3 > x — 1 — 2x — x > -1 — 3 — x > -4
\)

Область определения логарифмов:
\(
2x + 3 > 0 — x > -\frac{3}{2}
\)
\(
x — 1 > 0 — x > 1
\)

Область определения — пересечение:
\(
x > 1
\)

Итоговое решение — пересечение решения неравенства и области определения:
\(
x > 1
\)

Ответ:
\(
(1; +\infty)
\)

2) Неравенство:
\(
\log_5 (2x) < \log_5 (x + 1)
\)

Основание логарифма 5 > 1, поэтому неравенство эквивалентно:
\(
2x < x + 1
\)

Решаем:
\(
2x — x < 1 — x < 1
\)

Область определения:
\(
2x > 0 — x > 0
\)
\(
x + 1 > 0 — x > -1
\)

Область определения — пересечение:
\(
x > 0
\)

Итоговое решение:
\(
0 < x < 1
\)

Ответ:
\(
(0; 1)
\)

3) Неравенство:
\(
\log_{0.2} (2x — 1) > \log_{0.2} (3x — 4)
\)

Основание логарифма \(0.2 < 1\), поэтому знак неравенства меняется:
\(
2x — 1 < 3x — 4
\)

Решаем:
\(
2x — 1 < 3x — 4 — -1 + 4 < 3x — 2x — 3 < x
\)

Область определения:
\(
2x — 1 > 0 — x > \frac{1}{2}
\)
\(
3x — 4 > 0 — x > \frac{4}{3}
\)

Область определения — пересечение:
\(
x > \frac{4}{3}
\)

Итоговое решение — пересечение с решением неравенства:
\(
x > 3
\)

Ответ:
\(
(3; +\infty)
\)

4) Неравенство:
\(
\log_{0.4} (x^2 — 3) < \log_{0.4} (x + 3)
\)

Основание \(0.4 < 1\), поэтому знак неравенства меняется:
\(
x^2 — 3 > x + 3
\)

Переносим все в одну сторону:
\(
x^2 — x — 6 > 0
\)

Решаем квадратное неравенство. Сначала дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3
\)

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, неравенство выполняется вне корней:
\(
x < -2 \quad \text{или} \quad x > 3
\)

Область определения логарифмов:
\(
x^2 — 3 > 0 — x^2 > 3 — x < -\sqrt{3} \quad \text{или} \quad x > \sqrt{3}
\)
\(
x + 3 > 0 — x > -3
\)

Пересечение для области определения:
\(
x > -3
\)

С учётом этого область определения для \(x^2 — 3 > 0\) и \(x > -3\) — это
\(
x > \sqrt{3} \quad \text{или} \quad -3 < x < -\sqrt{3}
\)

Так как \(\sqrt{3} \approx 1.732\), то для простоты можно взять:
\(
x > 3 \quad \text{или} \quad -3 < x < -2
\)

Итоговое решение — пересечение решения неравенства и области определения:
\(
(-3; -2) \cup (3; +\infty)
\)

5) Неравенство:
\(
\log_{0.7} (x^2 — 2x — 3) \leq \log_{0.7} (9 — x)
\)

Основание \(0.7 < 1\), поэтому знак неравенства меняется:
\(
x^2 — 2x — 3 \geq 9 — x
\)

Переносим в левую часть:
\(
x^2 — 2x — 3 — 9 + x \geq 0 — x^2 — x — 12 \geq 0
\)

Решаем квадратное неравенство. Дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4
\)

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, неравенство выполняется вне корней:
\(
x \leq -3 \quad \text{или} \quad x \geq 4
\)

Область определения логарифмов:
\(
x^2 — 2x — 3 > 0
\)
\(
9 — x > 0 — x < 9
\)

Для подвыражения \(x^2 — 2x — 3 > 0\) найдем корни:
\(
x^2 — 2x — 3 = 0 — (x — 3)(x + 1) = 0
\)
Корни:
\(
x = 3, \quad x = -1
\)

Тогда область определения:
\(
x < -1 \quad \text{или} \quad x > 3
\)

Пересечение с \(x < 9\) даёт:
\(
x < -1 \quad \text{или} \quad 3 < x < 9
\)

Итоговое решение — пересечение с решением неравенства:
\(
(-\infty; -3] \cup [4; 9)
\)

6) Неравенство:
\(
\log_{\frac{1}{3}} (x^2 + x + 31) \leq \log_{\frac{1}{3}} (10x + 11)
\)

Основание \(\frac{1}{3} < 1\), поэтому знак неравенства меняется:
\(
x^2 + x + 31 \geq 10x + 11
\)

Переносим в левую часть:
\(
x^2 + x + 31 — 10x — 11 \geq 0 — x^2 — 9x + 20 \geq 0
\)

Решаем квадратное неравенство. Дискриминант:
\(
D = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 — 80 = 1
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{9 — 1}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{9 + 1}{2} = 5
\)

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, неравенство выполняется вне корней:
\(
x \leq 4 \quad \text{или} \quad x \geq 5
\)

Область определения логарифмов:
\(
10x + 11 > 0 — x > -\frac{11}{10}
\)
\(
x^2 + x + 31 > 0 \quad \text{(всегда > 0 для всех } x \text{)}
\)

Итоговое решение — пересечение с областью определения:
\(
\left(-\frac{11}{10}; 4\right] \cup [5; +\infty)
\)