ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \( \log_2 (2x — 3) < \log_2 (x + 1) \)

2) \( \log_{0.6} (3 — 2x) > \log_{0.6} (5x — 2) \)

3) \( \lg (x^2 — 2) > \lg (4x + 3) \)

4) \( \log_{0.1} (10 — 2x) > \log_{0.1} (x^2 — x — 2) \)

1) \(\log_2 (2x — 3) < \log_2 (x + 1)\);
\(2x — 3 < x + 1;\)
\(x < 4;\)
Область определения:
\(2x — 3 > 0, \quad x > 1.5;\)
Ответ: \((1.5; 4)\).

2) \(\log_{0.6} (3 — 2x) > \log_{0.6} (5x — 2)\);
\(3 — 2x < 5x — 2;\)
\(7x > 5;\)
\(x > \frac{5}{7};\)
Область определения:
\(3 — 2x > 0, \quad x < \frac{3}{2};\)
Ответ: \(\left(\frac{5}{7}; \frac{3}{2}\right)\).

3) \(\lg (x^2 — 2) \geq \lg (4x + 3)\);
\(x^2 — 2 \geq 4x + 3;\)
\(
x^2 — 4x — 5 \geq 0;
\)
\(
D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5;
\)
\(
(x + 1)(x — 5) \geq 0;
\)
\(
x \leq -1, \quad x \geq 5;
\)

Область определения:
\(
4x + 3 > 0, \quad x > -\frac{3}{4};
\)

Ответ:
\(
[5; +\infty).
\)

4)
\(
\log_{0.1} (10 — 2x) \geq \log_{0.1} (x^2 — x — 2);
\)
\(
10 — 2x \leq x^2 — x — 2;
\)
\(
x^2 + x — 12 \geq 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3;
\)
\(
(x + 4)(x — 3) \geq 0;
\)
\(
x \leq -4, \quad x \geq 3;
\)

Область определения:
\(
10 — 2x > 0, \quad x < 5;
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -4] \cup [3; 5).
\)

1) Неравенство:
\(
\log_2 (2x — 3) < \log_2 (x + 1).
\)

Поскольку основание логарифма \(2 > 1\), функция логарифма возрастает, следовательно, неравенство эквивалентно:
\(
2x — 3 < x + 1.
\)

Решаем:
\(
2x — 3 < x + 1 — 2x — x < 1 + 3 — x < 4.
\)

Область определения логарифмов:
\(
2x — 3 > 0 — x > \frac{3}{2} = 1.5,
\)
\(
x + 1 > 0 — x > -1.
\)

Область определения — пересечение условий:
\(
x > 1.5.
\)

Итоговое решение — пересечение условия из неравенства и области определения:
\(
1.5 < x < 4,
\)
то есть
\(
(1.5; 4).
\)

2) Неравенство:
\(
\log_{0.6} (3 — 2x) > \log_{0.6} (5x — 2).
\)

Основание логарифма \(0.6\) — число между 0 и 1, значит логарифмическая функция убывает, и знак неравенства меняется при переходе к аргументам:
\(
3 — 2x < 5x — 2.
\)

Решаем:
\(
3 — 2x < 5x — 2 — 3 + 2 < 5x + 2x — 5 < 7x — x > \frac{5}{7}.
\)

Область определения:
\(
3 — 2x > 0 — x < \frac{3}{2} = 1.5,
\)
\(
5x — 2 > 0 — x > \frac{2}{5} = 0.4.
\)

Область определения — пересечение:
\(
0.4 < x < 1.5.
\)

Итоговое решение — пересечение с условием неравенства:
\(
\frac{5}{7} \approx 0.714 > 0.4,
\)
значит
\(
\frac{5}{7} < x < 1.5,
\)
то есть
\(
\left(\frac{5}{7}; \frac{3}{2}\right).
\)

3) Неравенство:
\(
\lg (x^2 — 2) \geq \lg (4x + 3).
\)

Основание логарифма 10, функция возрастает, значит:
\(
x^2 — 2 \geq 4x + 3.
\)

Переносим всё в одну сторону:
\(
x^2 — 4x — 5 \geq 0.
\)

Решаем квадратное неравенство. Найдём дискриминант:
\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{4 — 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1,
\)
\(
x_2 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5.
\)

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, и неравенство \( \geq 0 \) выполняется на промежутках:
\(
(-\infty; -1] \cup [5; +\infty).
\)

Область определения логарифмов:
\(
x^2 — 2 > 0 — x^2 > 2 — x < -\sqrt{2} \quad \text{или} \quad x > \sqrt{2},
\)
\(
4x + 3 > 0 — x > -\frac{3}{4}.
\)

Пересечение области определения:
— Для \(x < -\sqrt{2}\), но при этом \(x > -\frac{3}{4}\) — невозможно, так как \(-\sqrt{2} \approx -1.414 < -0.75\).
— Для \(x > \sqrt{2} \approx 1.414\), пересечение с \(x > -\frac{3}{4}\) — это просто \(x > \sqrt{2}\).

Теперь пересечём это с решением неравенства:
\(
(-\infty; -1] \cup [5; +\infty) \quad \text{и} \quad ( -\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty).
\)

Слева диапазон \((- \infty; -1]\) не входит в область определения, так как \(x^2 — 2 > 0\) требует \(x < -\sqrt{2}\). Но \(-1 > -\sqrt{2}\), значит интервал \((- \infty; -1]\) не подходит.

Правая часть \([5; +\infty)\) пересекается с областью определения \(x > \sqrt{2}\), значит итоговое решение:
\(
[5; +\infty).
\)

4) Неравенство:
\(
\log_{0.1} (10 — 2x) \geq \log_{0.1} (x^2 — x — 2).
\)

Основание \(0.1\) — число между 0 и 1, функция убывает, поэтому знак неравенства меняется при переходе к аргументам:
\(
10 — 2x \leq x^2 — x — 2.
\)

Переносим всё в одну сторону:
\(
x^2 — x — 2 — 10 + 2x \geq 0,
\)
\(
x^2 + x — 12 \geq 0.
\)

Решаем квадратное неравенство. Дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4,
\)
\(
x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3.
\)

Парабола вверх, значит:
\(
x \leq -4 \quad \text{или} \quad x \geq 3.
\)

Область определения логарифмов:
\(
10 — 2x > 0 — x < 5,
\)
\(
x^2 — x — 2 > 0.
\)

Решим \(x^2 — x — 2 > 0\). Найдём корни:
\(
x^2 — x — 2 = 0,
\)
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9,
\)
\(
x = \frac{1 \pm 3}{2}.
\)

Корни:
\(
x = 2 \quad \text{и} \quad x = -1.
\)

Парабола вверх, значит:
\(
x < -1 \quad \text{или} \quad x > 2.
\)

Итоговая область определения — пересечение:
\(
x < 5,
\)
\(
(x < -1) \cup (x > 2).
\)

Теперь пересечём решения неравенства и области определения:

— Для \(x \leq -4\), область определения требует \(x < -1\), что выполнено, и \(x < 5\), тоже выполнено, значит подходит весь интервал \((-\infty; -4]\).

— Для \(x \geq 3\), область определения требует \(x > 2\) и \(x < 5\), значит
\(
3 \leq x < 5,
\)
то есть интервал \([3; 5)\).

Итоговый ответ:
\(
(-\infty; -4] \cup [3; 5).
\)