ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(\log_{\frac{1}{4}} (x+1) > -\frac{3}{2}\)

2) \(\log_{3} (12 — x^2) > 2\)

3) \(\log_{\frac{1}{7}} (3 — x) > -1\)

4) \(\log_{\frac{1}{3}} (2x — 5) > \log_{\frac{1}{3}} (x + 1)\)

1)
\(
\log_{\frac{1}{4}} (x + 1) > -\frac{3}{2};
\)
\(
0 < x + 1 < 4^{\frac{3}{2}};
\)
\(
0 < x + 1 < 8;
\)
\(
-1 < x < 7;
\)
Ответ: 6.

2)
\(
\log_{\sqrt{3}} (12 — x^2) > 2;
\)
\(
12 — x^2 > 3^2;
\)
\(
x^2 — 9 < 0;
\)
\(
(x + 3)(x — 3) < 0;
\)
\(
-3 < x < 3;
\)
Ответ: 2.

3)
\(
\log_{\frac{1}{7}} (3 — x) > -1;
\)
\(
0 < 3 — x < 7;
\)
\(
-3 < -x < 4;
\)
\(
-4 < x < 3;
\)
Ответ: 2.

4)
\(
\log_{\frac{1}{3}} (2x — 5) > \log_{\frac{1}{3}} (x + 1);
\)
\(
2x — 5 < x + 1,
\)
\(
2x — 5 > 0;
\)
\(
x < 6, \quad x > 2.5;
\)
Ответ: 5.

1)
Неравенство:
\(
\log_{\frac{1}{4}} (x + 1) > -\frac{3}{2}.
\)

Основание логарифма \(\frac{1}{4}\) — число между 0 и 1, значит логарифмическая функция убывает. Значит, неравенство
\(
\log_{\frac{1}{4}} (x + 1) > -\frac{3}{2}
\)
эквивалентно
\(
x + 1 < \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}}.
\)

Вычислим правую часть:
\(
\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}}.
\)

Поскольку
\(
4^{\frac{3}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^3 = 2^3 = 8,
\)
получаем:
\(
x + 1 < 8.
\)

Также область определения логарифма требует:
\(
x + 1 > 0 — x > -1.
\)

Итог:
\(
-1 < x < 8.
\)

Ответ: 6.

2)
Неравенство:
\(
\log_{\sqrt{3}} (12 — x^2) > 2.
\)

Основание \(\sqrt{3} > 1\), значит функция возрастает, и неравенство эквивалентно:
\(
12 — x^2 > (\sqrt{3})^2.
\)

Поскольку \((\sqrt{3})^2 = 3\), получаем:
\(
12 — x^2 > 3,
\)
\(
-x^2 > -9,
\)
\(
x^2 < 9.
\)

Решаем:
\(
-3 < x < 3.
\)

Область определения:
\(
12 — x^2 > 0 — x^2 < 12,
\)
что шире интервала \((-3; 3)\), значит ограничение по области определения не сужает решение.

Наибольшее целое число из интервала \((-3; 3)\) — это 2.

3)
Неравенство:
\(
\log_{\frac{1}{7}} (3 — x) > -1.
\)

Основание \(\frac{1}{7}\) — число между 0 и 1, функция убывает, значит:
\(
3 — x < \left(\frac{1}{7}\right)^{-1} = 7.
\)

Область определения:
\(
3 — x > 0 — x < 3.
\)

Из неравенства имеем:
\(
3 — x > 0,
\)
\(
3 — x < 7.
\)

Перепишем:
\(
0 < 3 — x < 7.
\)

Из левой части:
\(
3 — x > 0 — x < 3,
\)
из правой:
\(
3 — x < 7 — -x < 4 — x > -4.
\)

Итого:
\(
-4 < x < 3.
\)

Наибольшее целое число из этого интервала — 2.

4)
Неравенство:
\(
\log_{\frac{1}{3}} (2x — 5) > \log_{\frac{1}{3}} (x + 1).
\)

Основание \(\frac{1}{3}\) — число между 0 и 1, функция убывает, значит при переходе к аргументам знак меняется на противоположный:
\(
2x — 5 < x + 1.
\)

Решаем:
\(
2x — 5 < x + 1,
\)
\(
2x — x < 1 + 5,
\)
\(
x < 6.
\)

Область определения:
\(
2x — 5 > 0 — x > \frac{5}{2} = 2.5,
\)
\(
x + 1 > 0 — x > -1.
\)

Пересечение области определения:
\(
x > 2.5.
\)

Итоговое решение — пересечение с неравенством:
\(
2.5 < x < 6.
\)

Наибольшее целое число в этом промежутке — 5.