ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите производную функции для каждого из следующих выражений:

\(
\begin{cases}
1) \quad y = 4e^x; & 4) \quad y = e^x \sin x; & 7) \quad y = 5^x; & 10) \quad y = x \cdot 3^x; \\
2) \quad y = e^{5x}; & 5) \quad y = \frac{e^x}{x — 2}; & 8) \quad y = 2^{x^2}; & 11) \quad y = \frac{2^x — 3}{2^x + 1}; \\
3) \quad y = x^3 e^x; & 6) \quad y = e^x + e^{-x}; & 9) \quad y = 7^{2x — 3}; & 12) \quad y = 0{,}3^{\tan x}.
\end{cases}
\)

1) \( y = 4e^x; \)
\( y’ = 4e^x; \)

2) \( y = e^{5x}; \)
\( y’ = 5e^{5x}; \)

3) \( y = x^3 e^x; \)
\( y’ = 3x^2 e^x + x^3 e^x; \)
\( y’ = x^2 e^x \cdot (3 + x); \)

4) \( y = e^x \sin x; \)
\( y’ = e^x \sin x + e^x \cos x; \)
\( y’ = e^x \cdot (\sin x + \cos x); \)

5) \( y = \frac{e^x}{x — 2}; \)
\( y’ = \frac{e^x (x — 2) — e^x}{(x — 2)^2}; \)
\( y’ = \frac{e^x \cdot (x — 3)}{(x — 2)^2}; \)

6) \( y = e^x + e^{-x}; \)
\( y’ = e^x — e^{-x}; \)

7) \( y = 5^x; \)
\( y’ = 5^x \ln 5; \)

8) \( y = 2^{x^2}; \)
\( y’ = 2x \cdot 2^{x^2} \cdot \ln 2; \)

9) \( y = 7^{2x — 3}; \)
\( y’ = 2 \cdot 7^{2x — 3} \cdot \ln 7; \)

10) \( y = x \cdot 3^x; \)
\( y’ = 3^x + x \cdot 3^x \ln 3; \)

11) \( y = \frac{2^x — 3}{2^x + 1}; \)
\( y’ = \frac{2^x \ln 2 (2^x + 1) — 2^x \ln 2 (2^x — 3)}{(2^x + 1)^2}; \)
\( y’ = \frac{2^x \ln 2 \cdot 4}{(2^x + 1)^2} = \frac{2^{x+2} \ln 2}{(2^x + 1)^2}; \)

12) \( y = 0{,}3^{\tan x}; \)
\( y’ = \frac{1}{\cos^2 x} \cdot 0{,}3^{\tan x} \cdot \ln 0{,}3; \)

1)
\(
y = 4e^x
\)
Производная:
\(
y’ = 4e^x
\)

2)
\(
y = e^{5x}
\)
Применяем цепное правило:
\(
y’ = e^{5x} \cdot \frac{d}{dx}(5x) = 5 e^{5x}
\)

3)
\(
y = x^3 e^x
\)
Используем правило произведения:
\(
y’ = \frac{d}{dx}(x^3) \cdot e^x + x^3 \cdot \frac{d}{dx}(e^x) = 3x^2 e^x + x^3 e^x
\)
Вынесем общий множитель:
\(
y’ = x^2 e^x (3 + x)
\)

4)
\(
y = e^x \sin x
\)
Применяем правило произведения:
\(
y’ = \frac{d}{dx}(e^x) \cdot \sin x + e^x \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x
\)
Вынесем общий множитель:
\(
y’ = e^x (\sin x + \cos x)
\)

5)
\(
y = \frac{e^x}{x — 2}
\)
Применяем правило частного:
\(
y’ = \frac{(e^x)’ (x — 2) — e^x \cdot \frac{d}{dx}(x — 2)}{(x — 2)^2} = \frac{e^x (x — 2) — e^x \cdot 1}{(x — 2)^2}
\)
Упростим числитель:
\(
y’ = \frac{e^x (x — 3)}{(x — 2)^2}
\)

6)
\(
y = e^x + e^{-x}
\)
Производная суммы:
\(
y’ = e^x + (-1) e^{-x} = e^x — e^{-x}
\)

7)
\(
y = 5^x
\)
Производная показательной функции с основанием \(a\):
\(
y’ = 5^x \ln 5
\)

8)
\(
y = 2^{x^2}
\)
Применяем цепное правило:
\(
y’ = 2^{x^2} \cdot \ln 2 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2^{x^2} \ln 2 \cdot 2x = 2x \cdot 2^{x^2} \ln 2
\)

9)
\(
y = 7^{2x — 3}
\)
Используем цепное правило:
\(
y’ = 7^{2x — 3} \ln 7 \cdot \frac{d}{dx}(2x — 3) = 7^{2x — 3} \ln 7 \cdot 2 = 2 \cdot 7^{2x — 3} \ln 7
\)

10)
\(
y = x \cdot 3^x
\)
Правило произведения:
\(
y’ = \frac{d}{dx}(x) \cdot 3^x + x \cdot \frac{d}{dx}(3^x) = 1 \cdot 3^x + x \cdot 3^x \ln 3 = 3^x + x \cdot 3^x \ln 3
\)

11)
\(
y = \frac{2^x — 3}{2^x + 1}
\)
Правило частного:
\(
y’ = \frac{(2^x)’ (2^x + 1) — (2^x — 3) (2^x)’}{(2^x + 1)^2}
\)
Производная \(2^x\):
\(
(2^x)’ = 2^x \ln 2
\)
Подставляем:
\(
y’ = \frac{2^x \ln 2 (2^x + 1) — (2^x — 3) 2^x \ln 2}{(2^x + 1)^2}
\)
Раскроем скобки в числителе:
\(
y’ = \frac{2^x \ln 2 (2^x + 1 — 2^x + 3)}{(2^x + 1)^2} = \frac{2^x \ln 2 (4)}{(2^x + 1)^2} = \frac{2^{x+2} \ln 2}{(2^x + 1)^2}
\)

12)
\(
y = 0{,}3^{\tan x}
\)
Применяем цепное правило:
\(
y’ = 0{,}3^{\tan x} \ln(0{,}3) \cdot \frac{d}{dx}(\tan x) = 0{,}3^{\tan x} \ln(0{,}3) \cdot \frac{1}{\cos^2 x}
\)
Итог:
\(
y’ = \frac{1}{\cos^2 x} \cdot 0{,}3^{\tan x} \ln(0{,}3)
\)