ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции } f
\)
\(
\text{ в точке с абсциссой } x_0:
\)
1) \( f(x) = e^{1-x}, \quad x_0 = 1; \)
2) \( f(x) = \log_5 (x+2), \quad x_0 = -1. \)

Вычислить значение производной функции \(f(x)\) в данной точке \(x_0\):

1) \(f(x) = e^{1-x}, x_0 = 1\)
\(f'(x) = -1 \cdot e^{1-x}\)
\(f'(1) = -1 \cdot e^{1-1} = -1\)
Ответ: \(-1\).

2) \(f(x) = \log_5(x+2), x_0 = -1\)
\(f'(x) = \frac{1}{(x+2) \cdot \ln 5}\)
\(f'(-1) = \frac{1}{(-1+2) \cdot \ln 5} = \frac{1}{\ln 5}\)
Ответ: \(\frac{1}{\ln 5}\).

Вычислим значение производной функции \(f(x)\) в данной точке \(x_0\):

1) Для функции \(f(x) = e^{1-x}\) при \(x_0 = 1\):

Сначала найдем производную функции:

\(
f'(x) = \frac{d}{dx} e^{1-x} = e^{1-x} \cdot \frac{d}{dx}(1-x) = e^{1-x} \cdot (-1) = -e^{1-x}.
\)

Теперь подставим \(x_0 = 1\) в производную:

\(
f'(1) = -e^{1-1} = -e^0 = -1.
\)

Ответ: \(-1\).

2) Для функции \(f(x) = \log_5(x+2)\) при \(x_0 = -1\):

Сначала найдем производную функции:

\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \log_5(x+2) = \frac{1}{(x+2) \cdot \ln 5}.
\)

Теперь подставим \(x_0 = -1\) в производную:

\(
f'(-1) = \frac{1}{(-1+2) \cdot \ln 5} = \frac{1}{1 \cdot \ln 5} = \frac{1}{\ln 5}.
\)

Ответ: \(\frac{1}{\ln 5}\).