ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Составьте уравнение касательной к графику функции \( f \) в точке с абсциссой \( x_0 \):

1) \( f(x) = e^{-2x}, \quad x_0 = 0; \)

2) \( f(x) = e^x + \sin x, \quad x_0 = 0; \)

3) \( f(x) = x \cdot 2^x, \quad x_0 = 1; \)

4) \( f(x) = 6^{(3x + 4)}, \quad x_0 = -1; \)

5) \( f(x) = 3x + \ln x, \quad x_0 = 1; \)

6) \( f(x) = \ln(5 + 4x), \quad x_0 = -1; \)

7) \( f(x) = \log_3(2x + 1), \quad x_0 = 1; \)

8) \( f(x) = 2\ln(x — 2), \quad x_0 = 4. \)

Согласно изображению, необходимо составить уравнение касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) для двух случаев:

1) \(f(x) = e^{-2x}, x_0 = 0\)
\(f(0) = e^{-2 \cdot 0} = 1\)
\(f'(x) = -2 \cdot e^{-2x}\)
\(f'(0) = -2 \cdot e^{-2 \cdot 0} = -2\)
Уравнение касательной: \(y = 1 — 2(x — 0) = 1 — 2x\)

2) \(f(x) = e^x + \sin(x), x_0 = 0\)
\(f(0) = e^0 + \sin(0) = 1 + 0 = 1\)
\(f'(x) = e^x + \cos(x)\)
\(f'(0) = e^0 + \cos(0) = 1 + 1 = 2\)
Уравнение касательной: \(y = 1 + 2(x — 0) = 1 + 2x\)

3) \(f(x) = x \cdot 2^x\) с \(x_0 = 1\). Найти:
\(f(1) = 1 \cdot 2^1 = 2\)
\(f'(x) = 1 \cdot 2^x + x \cdot 2^x \cdot \ln 2\)
\(f'(1) = 2^1 + 1 \cdot 2^1 \cdot \ln 2 = 2 + 2 \ln 2\)
Уравнение касательной: \(y = 2 + (2 + 2 \ln 2)(x — 1) = 2 + 2x + 2x \ln 2 — 2 — 2 \ln 2\)
Ответ: \(y = (2 + 2 \ln 2)x — 2 \ln 2\)

4) \(f(x) = 6^{3x+4}\) с \(x_0 = -1\). Найти:
\(f(-1) = 6^{3(-1)+4} = 6\)
\(f'(x) = 3 \cdot 6^{3x+4} \cdot \ln 6\)
\(f'(-1) = 3 \cdot 6^{3(-1)+4} \cdot \ln 6 = 18 \ln 6\)
Уравнение касательной: \(y = 6 + 18 \ln 6 \cdot (x + 1)\)
Ответ: \(y = 18x \ln 6 + 18 \ln 6 + 6\)

5) \(f(x) = 3x + \ln x\) с \(x_0 = 1\). Найти:
\(f(1) = 3 \cdot 1 + \ln 1 = 3\)
\(f'(x) = 3 + \frac{1}{x}\)
\(f'(1) = 3 + \frac{1}{1} = 4\)
Уравнение касательной: \(y = 3 + 4(x — 1) = 4x — 1\)
Ответ: \(y = 4x — 1\)

6) \(f(x) = \ln(5 + 4x)\) с \(x_0 = -1\). Найти:
\(f(-1) = \ln(5 — 4) = \ln 1 = 0\)
\(f'(x) = \frac{4}{5 + 4x}\)
\(f'(-1) = \frac{4}{5 — 4} = 4\)
Уравнение касательной: \(y = 0 + 4(x + 1) = 4x + 4\)
Ответ: \(y = 4x + 4\)

7) Дана функция \(f(x) = \log_3(2x + 1)\) с \(x_0 = 1\). Найти:
\(f(1) = \log_3(2 + 1) = \log_3 3 = 1\)
\(f'(x) = \frac{2}{(2x + 1) \ln 3}\)
\(f'(1) = \frac{2}{(2 + 1) \ln 3} = \frac{2}{3 \ln 3}\)
Уравнение касательной: \(y = 1 + \frac{2}{3 \ln 3}(x — 1)\)
Ответ: \(y = \frac{2x}{3 \ln 3} + \frac{2}{3 \ln 3} + 1\)

8) Дана функция \(f'(x) = 2 \ln(x — 2)\) с \(x_0 = 4\). Найти:
\(f(4) = 2 \ln(4 — 2) = 2 \ln 2\)
\(f'(x) = \frac{2}{x — 2}\)
\(f'(4) = \frac{2}{4 — 2} = 1\)
Уравнение касательной: \(y = 2 \ln 2 + (x — 4)\)
Ответ: \(y = x + 2 \ln 2 — 4\)

1. \(f(x) = e^{-2x}, \quad x_0 = 0\)

Находим значение функции в точке:
\(
f(0) = e^{-2 \cdot 0} = e^0 = 1
\)

Находим производную функции:
\(
f'(x) = -2e^{-2x}
\)

Находим значение производной в точке:
\(
f'(0) = -2e^{-2 \cdot 0} = -2e^0 = -2
\)

Составляем уравнение касательной:
\(
y = f(0) + f'(0)(x — x_0)
\)
Подставляем значения:
\(
y = 1 + (-2)(x — 0) = 1 — 2x
\)

2. \(f(x) = e^x + \sin x, \quad x_0 = 0\)

Находим значение функции в точке:
\(
f(0) = e^0 + \sin(0) = 1 + 0 = 1
\)

Находим производную функции:
\(
f'(x) = e^x + \cos x
\)

Находим значение производной в точке:
\(
f'(0) = e^0 + \cos(0) = 1 + 1 = 2
\)

Составляем уравнение касательной:
\(
y = f(0) + f'(0)(x — x_0)
\)
Подставляем значения:
\(
y = 1 + 2(x — 0) = 1 + 2x
\)

3. \(f(x) = x \cdot 2^x, \quad x_0 = 1\)

Находим значение функции в точке:
\(
f(1) = 1 \cdot 2^1 = 2
\)

Находим производную функции, используя правило произведения:
\(
f'(x) = 2^x + x \cdot 2^x \ln(2)
\)

Находим значение производной в точке:
\(
f'(1) = 2^1 + 1 \cdot 2^1 \ln(2) = 2 + 2\ln(2)
\)

Составляем уравнение касательной:
\(
y = f(1) + f'(1)(x — x_0)
\)
Подставляем значения:
\(
y = 2 + (2 + 2\ln(2))(x — 1)
\)
Раскрываем скобки:
\(
y = 2 + (2 + 2\ln(2))x — (2 + 2\ln(2))
\)
Приводим подобные:
\(
y = (2 + 2\ln(2))x — 2\ln(2)
\)

4. \(f(x) = 6^{3x+4}, \quad x_0 = -1\)

Находим значение функции в точке:
\(
f(-1) = 6^{3(-1)+4} = 6^{1} = 6
\)

Находим производную функции, используя правило цепи:
\(
f'(x) = 3 \cdot 6^{3x+4} \cdot \ln(6)
\)

Находим значение производной в точке:
\(
f'(-1) = 3 \cdot 6^{3(-1)+4} \cdot \ln(6) = 3 \cdot 6^{1} \cdot \ln(6) = 18 \ln(6)
\)

Составляем уравнение касательной:
\(
y = f(-1) + f'(-1)(x — x_0)
\)
Подставляем значения:
\(
y = 6 + (18 \ln(6))(x — (-1))
\)
Раскрываем скобки:
\(
y = 6 + (18 \ln(6))(x + 1)
\)
Раскрываем дальше:
\(
y = 18x \ln(6) + 18 \ln(6) + 6
\)

5. \(f(x) = 3x + \ln x, \quad x_0 = 1\)

Находим значение функции в точке:
\(
f(1) = 3 \cdot 1 + \ln(1) = 3 + 0 = 3
\)

Находим производную функции:
\(
f'(x) = 3 + \frac{1}{x}
\)

Находим значение производной в точке:
\(
f'(1) = 3 + \frac{1}{1} = 3 + 1 = 4
\)

Составляем уравнение касательной:
\(
y = f(1) + f'(1)(x — x_0)
\)
Подставляем значения:
\(
y = 3 + (4)(x — 1)
\)
Раскрываем скобки:
\(
y = 4x — 4 + 3
\)
Приводим подобные:
\(
y = 4x — 1
\)

6. \(f(x) = \ln(5 + 4x), \quad x_0 = -1\)

Находим значение функции в точке:
\(
f(-1) = \ln(5 + (4)(-1)) = \ln(5 — 4) = \ln(1) = 0
\)

Находим производную функции, используя правило цепи:
\(
f'(x) = \frac{4}{5 + 4x}
\)

Находим значение производной в точке:
\(
f'(-1) = \frac{4}{5 + (4)(-1)} = \frac{4}{5 — 4} = \frac{4}{1} = 4
\)

Составляем уравнение касательной:
\(
y = f(-1) + f'(-1)(x — x_0)
\)
Подставляем значения:
\(
y = 0 + (4)(x — (-1))
\)
Раскрываем скобки:
\(
y = (4)(x + 1)
\)
Раскрываем дальше:
\(
y = 4x + 4
\)

7. \( f(x) = \log_3(2x + 1), \quad x_0 = 1 \)

Шаг 1. Значение функции в точке \( x_0 = 1 \):

\(
f(1) = \log_3(2 \cdot 1 + 1) = \log_3(3) = 1
\)

Шаг 2. Производная функции:

Для логарифма с основанием \(a\), производная:
\(
\frac{d}{dx} \log_a(u(x)) = \frac{u'(x)}{u(x) \ln(a)}
\)

Здесь:
\(
f(x) = \log_3(2x + 1), \quad u(x) = 2x + 1, \quad u'(x) = 2
\)

Подставляем:
\(
f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x) \ln(3)} = \frac{2}{(2x + 1) \ln(3)}
\)

Шаг 3. Значение производной в точке \( x_0 = 1 \):

\(
f'(1) = \frac{2}{(2 \cdot 1 + 1) \ln(3)} = \frac{2}{3 \ln(3)}
\)

Шаг 4. Уравнение касательной:

Формула уравнения касательной:
\(
y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)
\)

Подставляем значения:
\(
y = 1 + \frac{2}{3 \ln(3)}(x — 1)
\)

Раскрываем скобки:
\(
y = 1 + \frac{2}{3 \ln(3)}x — \frac{2}{3 \ln(3)}
\)

Приводим к окончательному виду:
\(
y = \frac{2}{3 \ln(3)}x + \left(1 — \frac{2}{3 \ln(3)}\right)
\)

Ответ:
Уравнение касательной:
\(
y = \frac{2}{3 \ln(3)}x + 1 — \frac{2}{3 \ln(3)}
\)

8. \( f(x) = 2\ln(x — 2), \quad x_0 = 4 \)

Шаг 1. Значение функции в точке \( x_0 = 4 \):

Подставляем \( x_0 = 4 \) в функцию:
\(
f(4) = 2\ln(4 — 2) = 2\ln(2)
\)

Шаг 2. Производная функции:

Производная функции \( f(x) = 2\ln(x — 2) \):
\(
f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{x — 2} = \frac{2}{x — 2}
\)

Шаг 3. Значение производной в точке \( x_0 = 4 \):

Подставляем \( x_0 = 4 \) в производную:
\(
f'(4) = \frac{2}{4 — 2} = \frac{2}{2} = 1
\)

Шаг 4. Уравнение касательной:

Формула уравнения касательной:
\(
y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)
\)

Подставляем значения \( f(4) = 2\ln(2) \), \( f'(4) = 1 \), \( x_0 = 4 \):
\(
y = 2\ln(2) + 1(x — 4)
\)

Раскрываем скобки:
\(
y = 2\ln(2) + x — 4
\)

Приводим к окончательному виду:
\(
y = x + 2\ln(2) — 4
\)

Ответ:
Уравнение касательной:
\(
y = x + 2\ln(2) — 4
\)