ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Составьте уравнение касательной к графику функции } f(x) \text{ в точке с абсциссой } x_0:
\)

1. \( f(x) = e^{5x}, \, x_0 = 0; \)
2. \( f(x) = 2e^x — \cos(x), \, x_0 = 0; \)
3. \( f(x) = 3^{2x — 3}, \, x_0 = 2; \)
4. \( f(x) = 4x — \ln 4, \, x_0 = 1; \)
5. \( f(x) = \ln(3x — 5), \, x_0 = 2; \)
6. \( f(x) = \log_2(x + 3), \, x_0 = 1. \)

1) \( f(x) = e^{5x}, \, x_0 = 0 \):
\(
f(0) = e^{5 \cdot 0} = 1; \quad f'(x) = 5e^{5x}; \quad f'(0) = 5 \cdot e^{5 \cdot 0} = 5;
\)
\(
y = 1 + 5(x — 0) = 1 + 5x; \quad \text{Ответ: } y = 1 + 5x.
\)

2) \( f(x) = 2e^x — \cos(x), \, x_0 = 0 \):
\(
f(0) = 2e^0 — \cos(0) = 1; \quad f'(x) = 2e^x + \sin(x); \quad f'(0)
\)
\(
= 2e^0 + \sin(0) = 2;
\)
\(
y = 1 + 2x; \quad \text{Ответ: } y = 1 + 2x.
\)

3) \( f(x) = 3^{2x — 3}, \, x_0 = 2 \):
\(
f(2) = 3^{4 — 3} = 3; \quad f'(x) = 2 \cdot 3^{2x — 3} \cdot \ln(3); \quad f'(2) = 2 \cdot 3^{4 — 3} \cdot \ln(3) =
\)
\(
= 6\ln(3);
\)
\(
y = 3 + 6\ln(3)(x — 2); \quad \text{Ответ: } y = 6x\ln(3) — 12\ln(3) + 3.
\)

4) \( f(x) = 4x — \ln 4, \, x_0 = 1 \):
\( f(1) = 4 \cdot 1 — \ln 4 = 4 — \ln 4; \quad f'(x) = 4 — 0 = 4; \)
\( y = 4 — \ln 4 + 4(x — 1); \quad \text{Ответ: } y = 4x — \ln 4. \)

5) \( f(x) = \ln(3x — 5), \, x_0 = 2 \):
\( f(2) = \ln(6 — 5) = \ln 1 = 0; \quad f'(x) = \frac{3}{3x — 5}; \quad f'(2) = \frac{3}{6 — 5} = 3; \)
\( y = 0 + 3(x — 2) = 3x — 6; \quad \text{Ответ: } y = 3x — 6. \)

6) \( f(x) = \log_2(x + 3), \, x_0 = 1 \):
\( f(1) = \log_2(1 + 3) = \log_2 4 = 2; \quad f'(x) = \frac{1}{(x + 3) \ln 2}; \quad f'(1) = \frac{1}{4 \ln 2}; \)
\( y = 2 + \frac{1}{4 \ln 2}(x — 1); \quad \text{Ответ: } y = \frac{x}{4 \ln 2} — \frac{1}{4 \ln 2} + 2. \)

1) \( f(x) = e^{5x}, \, x_0 = 0 \):
Рассчитаем значение функции в точке \( x_0 = 0 \):
\(
f(0) = e^{5 \cdot 0} = 1.
\)
Найдем производную функции:
\(
f'(x) = 5e^{5x}.
\)
Рассчитаем значение производной в точке \( x_0 = 0 \):
\(
f'(0) = 5 \cdot e^{5 \cdot 0} = 5.
\)
Уравнение касательной:
\(
y = f(0) + f'(0)(x — x_0) = 1 + 5(x — 0) = 1 + 5x.
\)
Ответ:
\(
y = 1 + 5x.
\)

2) \( f(x) = 2e^x — \cos(x), \, x_0 = 0 \):
Рассчитаем значение функции в точке \( x_0 = 0 \):
\(
f(0) = 2e^0 — \cos(0) = 1.
\)
Найдем производную функции:
\(
f'(x) = 2e^x + \sin(x).
\)
Рассчитаем значение производной в точке \( x_0 = 0 \):
\(
f'(0) = 2e^0 + \sin(0) = 2.
\)
Уравнение касательной:
\(
y = f(0) + f'(0)(x — x_0) = 1 + 2(x — 0) = 1 + 2x.
\)
Ответ:
\(
y = 1 + 2x.
\)

3) \( f(x) = 3^{2x — 3}, \, x_0 = 2 \):
Рассчитаем значение функции в точке \( x_0 = 2 \):
\(
f(2) = 3^{4 — 3} = 3.
\)
Найдем производную функции:
\(
f'(x) = 2 \cdot 3^{2x — 3} \cdot \ln(3).
\)
Рассчитаем значение производной в точке \( x_0 = 2 \):
\(
f'(2) = 2 \cdot 3^{4 — 3} \cdot \ln(3) = 6\ln(3).
\)
Уравнение касательной:
\(
y = f(2) + f'(2)(x — x_0) = 3 + 6\ln(3)(x — 2).
\)
Ответ:
\(
y = 6x\ln(3) — 12\ln(3) + 3.
\)

4) \( f(x) = 4x — \ln(4), \, x_0 = 1 \):
Рассчитаем значение функции в точке \( x_0 = 1 \):
\(
f(1) = 4 \cdot 1 — \ln(4) = 4 — \ln(4).
\)
Найдем производную функции:
\(
f'(x) = 4.
\)
Рассчитаем значение производной в точке \( x_0 = 1 \):
\(
f'(1) = 4.
\)
Уравнение касательной:
\(
y = f(1) + f'(1)(x — x_0) = (4 — \ln(4)) + 4(x — 1).
\)
Ответ:
\(
y = 4x — \ln(4).
\)

5) \( f(x) = \ln(3x — 5), \, x_0 = 2 \):
Рассчитаем значение функции в точке \( x_0 = 2 \):
\(
f(2) = \ln(6 — 5) = \ln(1) = 0.
\)
Найдем производную функции:
\(
f'(x) = \frac{3}{3x — 5}.
\)
Рассчитаем значение производной в точке \( x_0 = 2 \):
\(
f'(2) = \frac{3}{6 — 5} = 3.
\)
Уравнение касательной:
\(
y = f(2) + f'(2)(x — x_0) = 0 + 3(x — 2).
\)
Ответ:
\(
y = 3x — 6.
\)

6) \( f(x) = \log_2(x + 3), \, x_0 = 1 \):
Рассчитаем значение функции в точке \( x_0 = 1 \):
\(
f(1) = \log_2(1 + 3) = \log_2(4) = 2.
\)
Найдем производную функции:
\(
f'(x) = \frac{1}{(x + 3)\ln(2)}.
\)
Рассчитаем значение производной в точке \( x_0 = 1 \):
\(
f'(1) = \frac{1}{4\ln(2)}.
\)
Уравнение касательной:
\(
y = f(1) + f'(1)(x — x_0) = 2 + \frac{1}{4\ln(2)}(x — 1).
\)
Ответ:
\(
y = \frac{x}{4\ln(2)} — \frac{1}{4\ln(2)} + 2.
\)