ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции:

1) \( f(x) = e^x + e^{-x} \);

2) \( f(x) = (2^x — 7)(2^x — 9) \).

Найти уравнение горизонтальной касательной к графику функции:

1) \( f(x) = e^x + e^{-x} \);
\( f'(x) = e^x — e^{-x} = 0 \);
\( e^x = e^{-x} \);
\( x = -x \);
\( x = 0 \);
\( f(0) = e^0 + e^{-0} = 2 \);
Ответ: \( y = 2 \).

2) \( f(x) = (2^x — 7)(2^x — 9) \);
\( f(x) = 2^{2x} — 9 \cdot 2^x — 7 \cdot 2^x + 63 \);
\( f(x) = 2^{2x} — 16 \cdot 2^x + 63 \);
\( f'(x) = 2 \cdot 2^{2x} \cdot \ln{2} — 16 \cdot 2^x \cdot \ln{2} \);
\( f'(x) = 2^x \cdot \ln{2} \cdot (2 \cdot 2^x — 16) = 0 \);
\( 2 \cdot 2^x — 16 = 0 \);
\( 2 \cdot 2^x = 16 \);
\( 2^x = 8 \);

\( f(3) = (2^3 — 7)(2^3 — 9) \);
\( f(3) = (8 — 7)(8 + 9) = -1 \);
Ответ: \( y = -1 \).

Найти уравнение горизонтальной касательной к графику функции:

1) Рассмотрим функцию \( f(x) = e^x + e^{-x} \).
Найдём её производную:
\( f'(x) = e^x — e^{-x} \).
Для нахождения горизонтальной касательной необходимо, чтобы производная равнялась нулю:
\( f'(x) = 0 \).
Решим уравнение:
\( e^x — e^{-x} = 0 \),
\( e^x = e^{-x} \).
Заметим, что \( x = -x \), откуда следует, что \( x = 0 \).

Подставим найденное значение \( x = 0 \) в функцию \( f(x) \):
\( f(0) = e^0 + e^{-0} = 1 + 1 = 2 \).

Таким образом, уравнение горизонтальной касательной имеет вид:
\( y = 2 \).

2) Рассмотрим функцию \( f(x) = (2^x — 7)(2^x — 9) \).
Раскроем скобки:
\( f(x) = 2^{2x} — 9 \cdot 2^x — 7 \cdot 2^x + 63 \),
\( f(x) = 2^{2x} — 16 \cdot 2^x + 63 \).

Найдём производную функции:
\( f'(x) = 2 \cdot 2^{2x} \cdot \ln{2} — 16 \cdot 2^x \cdot \ln{2} \).
Вынесем общий множитель \( 2^x \cdot \ln{2} \):
\( f'(x) = 2^x \cdot \ln{2} \cdot (2 \cdot 2^x — 16) \).

Для нахождения горизонтальной касательной необходимо, чтобы производная равнялась нулю:
\( f'(x) = 0 \).
Так как \( 2^x \cdot \ln{2} \neq 0 \), решаем уравнение:
\( 2 \cdot 2^x — 16 = 0 \),
\( 2 \cdot 2^x = 16 \),
\( 2^x = 8 \).

Теперь найдём значение функции при \( x = 3 \):
\( f(3) = (2^3 — 7)(2^3 — 9) \),
\( f(3) = (8 — 7)(8 + 9) = 1 \cdot 17 = -1 \).

Таким образом, уравнение горизонтальной касательной имеет вид:
\( y = -1 \).