ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции
\( f(x) = (5^x — 65)(5^x + 15) \).

Найти уравнение горизонтальной касательной к графику функции:

\( f(x) = (5^x — 65)(5^x + 15) \);
\( f(x) = 5^{2x} + 15 \cdot 5^x — 65 \cdot 5^x — 975 \);
\( f(x) = 5^{2x} — 50 \cdot 5^x — 975 \);

\( f'(x) = 2 \cdot 5^{2x} \cdot \ln{5} — 50 \cdot 5^x \cdot \ln{5} \);
\( f'(x) = 5^x \cdot \ln{5} \cdot (2 \cdot 5^x — 50) = 0 \);
\( 2 \cdot 5^x — 50 = 0 \);
\( 2 \cdot 5^x = 50 \);
\( 5^x = 25 \);
\( x = 2 \).

Подставим \( x = 2 \) в функцию \( f(x) \):
\( f(2) = (5^2 — 65)(5^2 + 15) \);
\( f(2) = (25 — 65)(25 + 15) \);
\( f(2) = (-40)(40) = -1600 \).

Ответ: \( y = -1600 \).

Найти уравнение горизонтальной касательной к графику функции:

Рассмотрим функцию:
\( f(x) = (5^x — 65)(5^x + 15) \).

Раскроем скобки:
\( f(x) = 5^x \cdot 5^x + 15 \cdot 5^x — 65 \cdot 5^x — 65 \cdot 15 \),
\( f(x) = 5^{2x} + 15 \cdot 5^x — 65 \cdot 5^x — 975 \).

Приведем подобные слагаемые:
\( f(x) = 5^{2x} — 50 \cdot 5^x — 975 \).

Найдём производную функции \( f(x) \):
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(5^{2x}) — \frac{d}{dx}(50 \cdot 5^x) — \frac{d}{dx}(975) \).

Производная первого слагаемого:
\( \frac{d}{dx}(5^{2x}) = 2 \cdot 5^{2x} \cdot \ln{5} \).

Производная второго слагаемого:
\( \frac{d}{dx}(50 \cdot 5^x) = 50 \cdot 5^x \cdot \ln{5} \).

Производная третьего слагаемого равна нулю, так как это константа.

Таким образом, производная функции:
\( f'(x) = 2 \cdot 5^{2x} \cdot \ln{5} — 50 \cdot 5^x \cdot \ln{5} \).

Вынесем общий множитель \( 5^x \cdot \ln{5} \):
\( f'(x) = 5^x \cdot \ln{5} \cdot (2 \cdot 5^x — 50) \).

Для нахождения горизонтальной касательной необходимо, чтобы производная равнялась нулю:
\( f'(x) = 0 \).

Решим уравнение:
\( 5^x \cdot \ln{5} \cdot (2 \cdot 5^x — 50) = 0 \).

Так как \( 5^x > 0 \) и \( \ln{5} > 0 \), то равенство достигается при условии:
\( 2 \cdot 5^x — 50 = 0 \).

Решим это уравнение:
\( 2 \cdot 5^x = 50 \),
\( 5^x = 25 \).

Применим свойство степени и логарифма:
\( x = \log_5{25} = 2 \).

Теперь подставим найденное значение \( x = 2 \) в исходную функцию \( f(x) \):
\( f(2) = (5^2 — 65)(5^2 + 15) \).

Вычислим значения в скобках:
\( f(2) = (25 — 65)(25 + 15) \),
\( f(2) = (-40)(40) = -1600 \).

Таким образом, уравнение горизонтальной касательной имеет вид:
\( y = -1600 \).