Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции
\( f(x) = (5^x — 65)(5^x + 15) \).
Найти уравнение горизонтальной касательной к графику функции:
\( f(x) = (5^x — 65)(5^x + 15) \);
\( f(x) = 5^{2x} + 15 \cdot 5^x — 65 \cdot 5^x — 975 \);
\( f(x) = 5^{2x} — 50 \cdot 5^x — 975 \);
\( f'(x) = 2 \cdot 5^{2x} \cdot \ln{5} — 50 \cdot 5^x \cdot \ln{5} \);
\( f'(x) = 5^x \cdot \ln{5} \cdot (2 \cdot 5^x — 50) = 0 \);
\( 2 \cdot 5^x — 50 = 0 \);
\( 2 \cdot 5^x = 50 \);
\( 5^x = 25 \);
\( x = 2 \).
Подставим \( x = 2 \) в функцию \( f(x) \):
\( f(2) = (5^2 — 65)(5^2 + 15) \);
\( f(2) = (25 — 65)(25 + 15) \);
\( f(2) = (-40)(40) = -1600 \).
Ответ: \( y = -1600 \).
Найти уравнение горизонтальной касательной к графику функции:
Рассмотрим функцию:
\( f(x) = (5^x — 65)(5^x + 15) \).
Раскроем скобки:
\( f(x) = 5^x \cdot 5^x + 15 \cdot 5^x — 65 \cdot 5^x — 65 \cdot 15 \),
\( f(x) = 5^{2x} + 15 \cdot 5^x — 65 \cdot 5^x — 975 \).
Приведем подобные слагаемые:
\( f(x) = 5^{2x} — 50 \cdot 5^x — 975 \).
Найдём производную функции \( f(x) \):
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(5^{2x}) — \frac{d}{dx}(50 \cdot 5^x) — \frac{d}{dx}(975) \).
Производная первого слагаемого:
\( \frac{d}{dx}(5^{2x}) = 2 \cdot 5^{2x} \cdot \ln{5} \).
Производная второго слагаемого:
\( \frac{d}{dx}(50 \cdot 5^x) = 50 \cdot 5^x \cdot \ln{5} \).
Производная третьего слагаемого равна нулю, так как это константа.
Таким образом, производная функции:
\( f'(x) = 2 \cdot 5^{2x} \cdot \ln{5} — 50 \cdot 5^x \cdot \ln{5} \).
Вынесем общий множитель \( 5^x \cdot \ln{5} \):
\( f'(x) = 5^x \cdot \ln{5} \cdot (2 \cdot 5^x — 50) \).
Для нахождения горизонтальной касательной необходимо, чтобы производная равнялась нулю:
\( f'(x) = 0 \).
Решим уравнение:
\( 5^x \cdot \ln{5} \cdot (2 \cdot 5^x — 50) = 0 \).
Так как \( 5^x > 0 \) и \( \ln{5} > 0 \), то равенство достигается при условии:
\( 2 \cdot 5^x — 50 = 0 \).
Решим это уравнение:
\( 2 \cdot 5^x = 50 \),
\( 5^x = 25 \).
Применим свойство степени и логарифма:
\( x = \log_5{25} = 2 \).
Теперь подставим найденное значение \( x = 2 \) в исходную функцию \( f(x) \):
\( f(2) = (5^2 — 65)(5^2 + 15) \).
Вычислим значения в скобках:
\( f(2) = (25 — 65)(25 + 15) \),
\( f(2) = (-40)(40) = -1600 \).
Таким образом, уравнение горизонтальной касательной имеет вид:
\( y = -1600 \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.