Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
1) Составьте уравнение касательной к графику функции \( f(x) = e^x \), если эта касательная параллельна прямой \( y = e x — 6 \).
2) Составьте уравнение касательной к графику функции \( f(x) = e^{5x + 2} \), если эта касательная параллельна прямой \( y = 5x + 7 \).
3) Составьте уравнение касательной к графику функции \( f(x) = e^{-2x} \), если эта касательная параллельна прямой \( y = -x \).
4) Составьте уравнение касательной к графику функции \( f(x) = \ln(3x — 2) \), если эта касательная параллельна прямой \( y = 3x — 2 \).
Найти уравнение касательной к графику функции, параллельной данной прямой:
1) \( f(x) = e^x \), \( y = e^x — 6 \);
\( f'(x) = e^x = e \);
\( x = 1 \);
\( f(1) = e^1 = e \);
Уравнение касательной:
\( y = f(1) + f'(1)(x — 1) \);
\( y = e + e(x — 1) \);
Ответ: \( y = ex \).
2) \( f(x) = e^{5x+2} \), \( y = 5x + 7 \);
\( f'(x) = 5 \cdot e^{5x+2} = 5 \);
Решим уравнение:
\( e^{5x+2} = 1 \);
\( 5x + 2 = 0 \);
\( 5x = -2 \);
\( x = -0.4 \).
Найдём значение функции в точке \( x = -0.4 \):
\( f(-0.4) = e^{2+2} = 1 \).
Уравнение касательной:
\( y = f(-0.4) + f'(-0.4)(x + 0.4) \);
\( y = 1 + 5(x + 0.4) \);
\( y = 5x + 3 \).
Ответ: \( y = 5x + 3 \).
3) \( f(x) = e^{-2x} \), \( y = -x \);
\( f'(x) = -2 \cdot e^{-2x} = -1 \);
\( e^{-2x} = \frac{1}{2} \);
\( -2x = \ln{2} \);
\( x = -\frac{\ln{2}}{2} \).
\( f\left(-\frac{\ln{2}}{2}\right) = e^{2 \cdot \frac{\ln{2}}{2}} = 2 \).
Уравнение касательной:
\( y = f\left(-\frac{\ln{2}}{2}\right) + f’\left(-\frac{\ln{2}}{2}\right)\left(x + \frac{\ln{2}}{2}\right) \);
\( y = 2 — (x + \frac{\ln{2}}{2}) \);
\( y = 2 — x + \frac{\ln{2}}{2} \).
Ответ: \( y = 2 — x + \frac{\ln{2}}{2} \).
4) \( f(x) = \ln(3x — 2) \), \( y = 3x — 2 \);
\( f'(x) = \frac{3}{3x — 2} = 3 \);
Решим уравнение:
\( 3x — 2 = 1 \);
\( 3x = 3 \);
\( x = 1 \).
Найдём значение функции в точке \( x = 1 \):
\( f(1) = \ln(3 \cdot 1 — 2) = \ln(1) = 0 \).
Уравнение касательной:
\( y = f(1) + f'(1)(x — 1) \);
\( y = 0 + 3(x — 1) \);
\( y = 3x — 3 \).
Ответ: \( y = 3x — 3 \).
1) Рассмотрим функцию \( f(x) = e^x \) и прямую \( y = e^x — 6 \). Для того чтобы найти уравнение касательной, сначала найдем производную функции:
\(
f'(x) = e^x
\)
Чтобы касательная была параллельна данной прямой, необходимо, чтобы их производные были равны. Уравнение прямой \( y = e^x — 6 \) имеет производную \( e^x \), следовательно, необходимо найти точку, где \( f'(x) = e \):
\(
e^x = e — x = 1
\)
Теперь найдем значение функции в этой точке:
\(
f(1) = e^1 = e
\)
Уравнение касательной можно записать в виде:
\(
y = f(1) + f'(1)(x — 1)
\)
Подставляя найденные значения, получаем:
\(
y = e + e(x — 1)
\)
Упрощая, получаем:
\(
y = ex
\)
Ответ: \( y = ex \).
2) Рассмотрим функцию \( f(x) = e^{5x+2} \) и прямую \( y = 5x + 7 \). Найдем производную функции:
\(
f'(x) = 5 \cdot e^{5x+2}
\)
Для касательной, параллельной прямой, производная должна быть равна 5:
\(
5 \cdot e^{5x+2} = 5 — e^{5x+2} = 1
\)
Принимаем логарифм обеих сторон:
\(
5x + 2 = 0 — 5x = -2 — x = -0.4
\)
Теперь найдем значение функции в точке \( x = -0.4 \):
\(
f(-0.4) = e^{5(-0.4)+2} = e^{2 — 2} = 1
\)
Уравнение касательной будет:
\(
y = f(-0.4) + f'(-0.4)(x + 0.4)
\)
Подставляя значения, получаем:
\(
y = 1 + 5(x + 0.4)
\)
Упрощая, получаем:
\(
y = 5x + 3
\)
Ответ: \( y = 5x + 3 \).
3) Рассмотрим функцию \( f(x) = e^{-2x} \) и прямую \( y = -x \). Найдем производную функции:
\(
f'(x) = -2 \cdot e^{-2x}
\)
Для касательной, параллельной данной прямой, производная должна быть равна -1:
\(
-2 \cdot e^{-2x} = -1 — e^{-2x} = \frac{1}{2}
\)
Принимаем логарифм обеих сторон:
\(
-2x = \ln{2} — x = -\frac{\ln{2}}{2}
\)
Теперь найдем значение функции в точке \( x = -\frac{\ln{2}}{2} \):
\(
f\left(-\frac{\ln{2}}{2}\right) = e^{-2 \cdot -\frac{\ln{2}}{2}} = e^{\ln{2}} = 2
\)
Уравнение касательной будет:
\(
y = f\left(-\frac{\ln{2}}{2}\right) + f’\left(-\frac{\ln{2}}{2}\right)\left(x + \frac{\ln{2}}{2}\right)
\)
Подставляя значения, получаем:
\(
y = 2 — (x + \frac{\ln{2}}{2})
\)
Упрощая, получаем:
\(
y = 2 — x + \frac{\ln{2}}{2}
\)
Ответ: \( y = 2 — x + \frac{\ln{2}}{2} \).
4) Рассмотрим функцию \( f(x) = \ln(3x — 2) \) и прямую \( y = 3x — 2 \). Найдем производную функции:
\(
f'(x) = \frac{3}{3x — 2}
\)
Для касательной, параллельной данной прямой, производная должна быть равна 3:
\(
\frac{3}{3x — 2} = 3
\)
Решим уравнение:
\(
3x — 2 = 1 — 3x = 3 — x = 1
\)
Теперь найдем значение функции в точке \( x = 1 \):
\(
f(1) = \ln(3 \cdot 1 — 2) = \ln(1) = 0
\)
Уравнение касательной будет:
\(
y = f(1) + f'(1)(x — 1)
\)
Подставляя значения, получаем:
\(
y = 0 + 3(x — 1)
\)
Упрощая, получаем:
\(
y = 3x — 3
\)
Ответ: \( y = 3x — 3 \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.