Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
1) Составьте уравнение касательной к графику функции \( f(x) = e^{6 — 7x} \), если эта касательная параллельна прямой \( y = 5 — 7x \).
2) Составьте уравнение касательной к графику функции \( f(x) = e^x — e^{-x} \), если эта касательная параллельна прямой \( y = 2x — 3 \).
3) Составьте уравнение касательной к графику функции \( f(x) = 6x — \ln x \), если эта касательная параллельна прямой \( y = x \).
4) Составьте уравнение касательной к графику функции \( f(x) = \ln(1 — x) \), если эта касательная параллельна прямой \( y = 1 — x \).
Найти уравнение касательной к графику функции, параллельной данной прямой:
1) \( f(x) = e^{6-7x} \), \( y = 5 — 7x \);
\( f'(x) = -7 \cdot e^{6-7x} = -7 \);
Решим уравнение:
\( e^{6-7x} = 1 \);
\( 6 — 7x = 0 \);
\( 7x = 6 \);
\( x = \frac{6}{7} \).
Найдём значение функции в точке \( x = \frac{6}{7} \):
\( f\left(\frac{6}{7}\right) = e^{6 — 6} = 1 \).
Уравнение касательной:
\( y = f\left(\frac{6}{7}\right) + f’\left(\frac{6}{7}\right)\left(x — \frac{6}{7}\right) \);
\( y = 1 — 7\left(x — \frac{6}{7}\right) \);
\( y = 7 — 7x \).
Ответ: \( y = 7 — 7x \).
2) \( f(x) = e^x — e^{-x} \), \( y = 2x — 3 \);
\( f'(x) = e^x + e^{-x} = 2 \);
Решим уравнение:
\( e^x + e^{-x} = e^0 + e^0 \);
\( f(0) = e^0 — e^0 = 0 \).
Уравнение касательной:
\( y = f(0) + f'(0)(x — 0) \);
\( y = 0 + 2(x — 0) \);
\( y = 2x \).
Ответ: \( y = 2x \).
3) \( f(x) = 6x — \ln{x} \), \( y = x \);
\( f'(x) = 6 — \frac{1}{x} = 1 \);
Решим уравнение:
\( 6 — \frac{1}{x} = 1 \);
\( \frac{1}{x} = 5 \);
\( x = \frac{1}{5} \).
Найдём значение функции в точке \( x = 5 \):
\( f(5) = 6 \cdot 5 — \ln{5} = 30 — \ln{5} \).
Уравнение касательной:
\( y = f(5) + f'(5)(x — 5) \);
\( y = (30 — \ln{5}) + (x — 5) \);
Приведём к упрощённому виду:
\( y = x + 1 — \ln{5} \).
Ответ: \( y = x + 1 — \ln{5} \).
4) \( f(x) = \ln(1 — x) \), \( y = 1 — x \);
\( f'(x) = -\frac{1}{1 — x} = -1 \).
Решим уравнение:
\( -\frac{1}{1 — x} = -1 \);
\( 1 — x = 1 \);
\( x = 0 \).
Найдём значение функции в точке \( x = 0 \):
\( f(0) = \ln(1 — 0) = \ln{1} = 0 \).
Уравнение касательной:
\( y = f(0) + f'(0)(x — 0) \);
\( y = 0 — x \).
Ответ: \( y = -x \).
1) Составьте уравнение касательной к графику функции \( f(x) = e^{6 — 7x} \), если эта касательная параллельна прямой \( y = 5 — 7x \).
Найдём производную функции \( f(x) \):
\( f'(x) = -7 \cdot e^{6 — 7x} \).
Для нахождения касательной, параллельной данной прямой, производная функции должна быть равна угловому коэффициенту данной прямой. Угловой коэффициент прямой \( y = 5 — 7x \) равен \( -7 \), следовательно:
\( f'(x) = -7 \).
Решим уравнение:
\( -7 \cdot e^{6 — 7x} = -7 \quad \Rightarrow \quad e^{6 — 7x} = 1 \).
Возьмём натуральный логарифм:
\( 6 — 7x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{6}{7} \).
Найдём значение функции в точке \( x = \frac{6}{7} \):
\( f\left(\frac{6}{7}\right) = e^{6 — 6} = 1 \).
Уравнение касательной:
\( y = f\left(\frac{6}{7}\right) + f’\left(\frac{6}{7}\right)\left(x — \frac{6}{7}\right) \).
Подставим значения:
\( y = 1 — 7\left(x — \frac{6}{7}\right) \).
Приведём выражение к упрощённому виду:
\( y = 7 — 7x \).
Ответ:
\( y = 7 — 7x \).
2) Составьте уравнение касательной к графику функции \( f(x) = e^x — e^{-x} \), если эта касательная параллельна прямой \( y = 2x — 3 \).
Найдём производную функции \( f(x) \):
\( f'(x) = e^x + e^{-x} \).
Для нахождения касательной, параллельной данной прямой, производная функции должна быть равна угловому коэффициенту данной прямой. Угловой коэффициент прямой \( y = 2x — 3 \) равен \( 2 \), следовательно:
\( f'(x) = 2 \).
Решим уравнение:
\( e^x + e^{-x} = 2 \).
Подставим \( x = 0 \):
\( e^0 + e^{-0} = 1 + 1 = 2 \).
Найдём значение функции в точке \( x = 0 \):
\( f(0) = e^0 — e^{-0} = 1 — 1 = 0 \).
Уравнение касательной:
\( y = f(0) + f'(0)(x — 0) \).
Подставим значения:
\( y = 0 + 2(x — 0) \).
Приведём выражение к упрощённому виду:
\( y = 2x \).
Ответ:
\( y = 2x \).
3) Составьте уравнение касательной к графику функции \( f(x) = 6x — \ln x \), если эта касательная параллельна прямой \( y = x \).
Найдём производную функции \( f(x) \):
\( f'(x) = 6 — \frac{1}{x} \).
Для нахождения касательной, параллельной данной прямой, производная функции должна быть равна угловому коэффициенту данной прямой. Угловой коэффициент прямой \( y = x \) равен \( 1 \), следовательно:
\( f'(x) = 1 \).
Решим уравнение:
\( 6 — \frac{1}{x} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x} = 5 \).
Найдём значение \( x \):
\( x = \frac{1}{5} \).
Найдём значение функции в точке \( x = 5 \):
\( f(5) = 6 \cdot 5 — \ln{5} = 30 — \ln{5} \).
Уравнение касательной:
\( y = f(5) + f'(5)(x — 5) \).
Подставим значения:
\( y = (30 — \ln{5}) + (1)(x — 5) \).
Приведём выражение к упрощённому виду:
\( y = x +1 — \ln{5} \).
Ответ:
\( y = x + 1 — \ln{5} \).
4) Составьте уравнение касательной к графику функции \( f(x) = \ln(1 — x) \), если эта касательная параллельна прямой \( y = 1 — x \).
Найдём производную функции \( f(x) \):
\( f'(x) = -\frac{1}{1-x} \).
Для нахождения касательной, параллельной данной прямой, производная функции должна быть равна угловому коэффициенту данной прямой. Угловой коэффициент прямой \( y = 1 — x \) равен \( -1 \), следовательно:
\( f'(x) = -1 \).
Решим уравнение:
\( -\frac{1}{1-x} = -1. \)
Упростим выражение:
\( 1-x = 1. \)
Найдём значение \( x \):
\( x = 0. \)
Найдём значение функции в точке \( x = 0 \):
\( f(0) = \ln(1-0) = \ln{1} = 0. \)
Уравнение касательной:
\( y = f(0) + f'(0)(x — 0). \)
Подставим значения:
\( y = 0 + (-1)(x — 0). \)
Приведём выражение к упрощённому виду:
\( y = -x. \)
Ответ:
\( y = -x.\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.