ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Составьте уравнение касательной к графику функции \( f(x) = e^{6 — 7x} \), если эта касательная параллельна прямой \( y = 5 — 7x \).

2) Составьте уравнение касательной к графику функции \( f(x) = e^x — e^{-x} \), если эта касательная параллельна прямой \( y = 2x — 3 \).

3) Составьте уравнение касательной к графику функции \( f(x) = 6x — \ln x \), если эта касательная параллельна прямой \( y = x \).

4) Составьте уравнение касательной к графику функции \( f(x) = \ln(1 — x) \), если эта касательная параллельна прямой \( y = 1 — x \).

Найти уравнение касательной к графику функции, параллельной данной прямой:

1) \( f(x) = e^{6-7x} \), \( y = 5 — 7x \);
\( f'(x) = -7 \cdot e^{6-7x} = -7 \);
Решим уравнение:
\( e^{6-7x} = 1 \);
\( 6 — 7x = 0 \);
\( 7x = 6 \);
\( x = \frac{6}{7} \).

Найдём значение функции в точке \( x = \frac{6}{7} \):
\( f\left(\frac{6}{7}\right) = e^{6 — 6} = 1 \).

Уравнение касательной:
\( y = f\left(\frac{6}{7}\right) + f’\left(\frac{6}{7}\right)\left(x — \frac{6}{7}\right) \);
\( y = 1 — 7\left(x — \frac{6}{7}\right) \);
\( y = 7 — 7x \).

Ответ: \( y = 7 — 7x \).

2) \( f(x) = e^x — e^{-x} \), \( y = 2x — 3 \);
\( f'(x) = e^x + e^{-x} = 2 \);
Решим уравнение:
\( e^x + e^{-x} = e^0 + e^0 \);
\( f(0) = e^0 — e^0 = 0 \).

Уравнение касательной:
\( y = f(0) + f'(0)(x — 0) \);
\( y = 0 + 2(x — 0) \);
\( y = 2x \).

Ответ: \( y = 2x \).

3) \( f(x) = 6x — \ln{x} \), \( y = x \);
\( f'(x) = 6 — \frac{1}{x} = 1 \);
Решим уравнение:
\( 6 — \frac{1}{x} = 1 \);
\( \frac{1}{x} = 5 \);
\( x = \frac{1}{5} \).

Найдём значение функции в точке \( x = 5 \):
\( f(5) = 6 \cdot 5 — \ln{5} = 30 — \ln{5} \).

Уравнение касательной:
\( y = f(5) + f'(5)(x — 5) \);
\( y = (30 — \ln{5}) + (x — 5) \);
Приведём к упрощённому виду:
\( y = x + 1 — \ln{5} \).

Ответ: \( y = x + 1 — \ln{5} \).

4) \( f(x) = \ln(1 — x) \), \( y = 1 — x \);
\( f'(x) = -\frac{1}{1 — x} = -1 \).

Решим уравнение:
\( -\frac{1}{1 — x} = -1 \);
\( 1 — x = 1 \);
\( x = 0 \).

Найдём значение функции в точке \( x = 0 \):
\( f(0) = \ln(1 — 0) = \ln{1} = 0 \).

Уравнение касательной:
\( y = f(0) + f'(0)(x — 0) \);
\( y = 0 — x \).

Ответ: \( y = -x \).

1) Составьте уравнение касательной к графику функции \( f(x) = e^{6 — 7x} \), если эта касательная параллельна прямой \( y = 5 — 7x \).

Найдём производную функции \( f(x) \):
\( f'(x) = -7 \cdot e^{6 — 7x} \).

Для нахождения касательной, параллельной данной прямой, производная функции должна быть равна угловому коэффициенту данной прямой. Угловой коэффициент прямой \( y = 5 — 7x \) равен \( -7 \), следовательно:
\( f'(x) = -7 \).

Решим уравнение:
\( -7 \cdot e^{6 — 7x} = -7 \quad \Rightarrow \quad e^{6 — 7x} = 1 \).

Возьмём натуральный логарифм:
\( 6 — 7x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{6}{7} \).

Найдём значение функции в точке \( x = \frac{6}{7} \):
\( f\left(\frac{6}{7}\right) = e^{6 — 6} = 1 \).

Уравнение касательной:
\( y = f\left(\frac{6}{7}\right) + f’\left(\frac{6}{7}\right)\left(x — \frac{6}{7}\right) \).

Подставим значения:
\( y = 1 — 7\left(x — \frac{6}{7}\right) \).

Приведём выражение к упрощённому виду:
\( y = 7 — 7x \).

Ответ:
\( y = 7 — 7x \).

2) Составьте уравнение касательной к графику функции \( f(x) = e^x — e^{-x} \), если эта касательная параллельна прямой \( y = 2x — 3 \).

Найдём производную функции \( f(x) \):
\( f'(x) = e^x + e^{-x} \).

Для нахождения касательной, параллельной данной прямой, производная функции должна быть равна угловому коэффициенту данной прямой. Угловой коэффициент прямой \( y = 2x — 3 \) равен \( 2 \), следовательно:
\( f'(x) = 2 \).

Решим уравнение:
\( e^x + e^{-x} = 2 \).

Подставим \( x = 0 \):
\( e^0 + e^{-0} = 1 + 1 = 2 \).

Найдём значение функции в точке \( x = 0 \):
\( f(0) = e^0 — e^{-0} = 1 — 1 = 0 \).

Уравнение касательной:
\( y = f(0) + f'(0)(x — 0) \).

Подставим значения:
\( y = 0 + 2(x — 0) \).

Приведём выражение к упрощённому виду:
\( y = 2x \).

Ответ:
\( y = 2x \).

3) Составьте уравнение касательной к графику функции \( f(x) = 6x — \ln x \), если эта касательная параллельна прямой \( y = x \).

Найдём производную функции \( f(x) \):
\( f'(x) = 6 — \frac{1}{x} \).

Для нахождения касательной, параллельной данной прямой, производная функции должна быть равна угловому коэффициенту данной прямой. Угловой коэффициент прямой \( y = x \) равен \( 1 \), следовательно:
\( f'(x) = 1 \).

Решим уравнение:
\( 6 — \frac{1}{x} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x} = 5 \).

Найдём значение \( x \):
\( x = \frac{1}{5} \).

Найдём значение функции в точке \( x = 5 \):
\( f(5) = 6 \cdot 5 — \ln{5} = 30 — \ln{5} \).

Уравнение касательной:
\( y = f(5) + f'(5)(x — 5) \).

Подставим значения:
\( y = (30 — \ln{5}) + (1)(x — 5) \).

Приведём выражение к упрощённому виду:
\( y = x +1 — \ln{5} \).

Ответ:
\( y = x + 1 — \ln{5} \).

4) Составьте уравнение касательной к графику функции \( f(x) = \ln(1 — x) \), если эта касательная параллельна прямой \( y = 1 — x \).

Найдём производную функции \( f(x) \):
\( f'(x) = -\frac{1}{1-x} \).

Для нахождения касательной, параллельной данной прямой, производная функции должна быть равна угловому коэффициенту данной прямой. Угловой коэффициент прямой \( y = 1 — x \) равен \( -1 \), следовательно:
\( f'(x) = -1 \).

Решим уравнение:
\( -\frac{1}{1-x} = -1. \)

Упростим выражение:
\( 1-x = 1. \)

Найдём значение \( x \):
\( x = 0. \)

Найдём значение функции в точке \( x = 0 \):
\( f(0) = \ln(1-0) = \ln{1} = 0. \)

Уравнение касательной:
\( y = f(0) + f'(0)(x — 0). \)

Подставим значения:
\( y = 0 + (-1)(x — 0). \)

Приведём выражение к упрощённому виду:
\( y = -x. \)

Ответ:
\( y = -x.\)