ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:}
\)

\( f_1(x) = e^x — x \)

\( f_2(x) = x e^{2x} \)

\( f_3(x) = (1-x)e^{x+1} \)

\( f_4(x) = x^2 \cdot 2^{-x} \)

\( f_5(x) = 4x e^{2-x} \)

\( f_6(x) = e^{x^2} \)

\( f_7(x) = e^{4x — x^2 + 1} \)

\( f_8(x) = \frac{e^x}{x-2} \)

\( f_9(x) = \frac{4x}{e^x} \)

\( f_{10}(x) = x^3 \ln x \)

\( f_{11}(x) = \ln x — x \)

\( f_{12}(x) = x^2 \ln x \)

\( f_{13}(x) = \ln x + \frac{1}{x} \)

\( f_{14}(x) = \frac{x}{\ln x} \)

\( f_{15}(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \)

\( f_{16}(x) = 2\ln^3 x — 3\ln^2 x \)

\( f_{17}(x) = \lg^2 x — \lg x \)

1) \( f(x) = e^x — x \);
\( f'(x) = e^x — 1 \geq 0 \);
\( e^x \geq 1 \);
\( x \geq 0 \).

Ответ: возрастает на \( [0; +\infty) \);
убывает на \( (-\infty; 0] \);
\( x_{\text{min}} = 0 \).

2) \( f(x) = x e^{2x} \);
\( f'(x) = e^{2x} + 2x e^{2x} \geq 0 \);
\( e^{2x} \cdot (1 + 2x) \geq 0 \).

Ответ: возрастает на \( \left[-\frac{1}{2}; +\infty\right) \);
убывает на \( \left(-\infty; -\frac{1}{2}\right] \);
\( x_{\text{min}} = -\frac{1}{2} \).

3) \( f(x) = (1 — x)e^x + 1 \);
\( f'(x) = -e^x + (1 — x)e^x \geq 0 \);
\( e^x \cdot (-x) \geq 0 \).

Ответ: возрастает на \( (-\infty; 0] \);
убывает на \( [0; +\infty) \);
\( x_{\text{max}} = 0 \).

4) \( f(x) = x^2 \cdot 2^{-x} \);
\( f'(x) = 2x \cdot 2^{-x} — x^2 \cdot 2^{-x} \cdot \ln{2} \geq 0 \);
\( 2^{-x} \cdot x \cdot (2 — x \ln{2}) \geq 0 \);
\( x \cdot (x \ln{2} — 2) \leq 0 \).

Ответ: возрастает на \( [0; \frac{2}{\ln{2}}] \);
убывает на \( (-\infty; 0] \cup [\frac{2}{\ln{2}}; +\infty) \);
\( x_{\text{min}} = 0, \quad x_{\text{max}} = \frac{2}{\ln{2}} \).

5) \( f(x) = 4x e^{2-x} \);
\( f'(x) = 4e^{2-x} — 4x e^{2-x} \geq 0 \);
\( 4e^{2-x} \cdot (1 — x) \geq 0 \);
\( x — 1 \leq 0 \);
\( x \leq 1 \).

Ответ: возрастает на \( (-\infty; 1] \);
убывает на \( [1; +\infty) \);
\( x_{\text{max}} = 1 \).

6) \( f(x) = e^{x^2} \);
\( f'(x) = 2x \cdot e^{x^2} \geq 0 \).

Ответ: возрастает на \( [0; +\infty) \);
убывает на \( (-\infty; 0] \);
\( x_{\text{min}} = 0 \).

7) \( f(x) = e^{4x} — x^2 + 1 \);
\( f'(x) = (4 — 2x) \cdot e^{4x} \geq 0 \);
\( 2x \leq 4 \);
\( x \leq 2 \).

Ответ: возрастает на \( (-\infty; 2] \);
убывает на \( [2; +\infty) \);
\( x_{\text{max}} = 2 \).

8) \( f(x) = x — e^{x-2} \);
\( f'(x) = e^{x-2} (x — 2) — e^{x-2} \cdot (x — 2)^2 \geq 0 \);
\( e^{x-2} \cdot (x — 3) \geq 0 \);
\( x \geq 3 \).

Ответ: возрастает на \( [3; +\infty) \);
убывает на \( (-\infty; 2) \cup (2; 3] \);
\( x_{\text{min}} = 3 \).

9) \( f(x) = 4x e^{x} \);
\( f'(x) = 4e^{x} — 4x e^{x} \geq 0 \);
\( 4e^{x} \cdot (1 — x) \geq 0 \);
\( 1 — x \geq 0 \);
\( x \leq 1 \).

Ответ: возрастает на \( (-\infty; 1] \);
убывает на \( [1; +\infty) \);
\( x_{\text{max}} = 1 \).

10) \( f(x) = x^3 \ln{x} \);
\( f'(x) = 3x^2 \ln{x} + x^3 \cdot \frac{1}{x} \geq 0 \);
\( x^2 \cdot (3\ln{x} + 1) \geq 0 \);
\( \ln{x} \geq -\frac{1}{3} \);
\( x \geq e^{-\frac{1}{3}} \).

Ответ: возрастает на \( [e^{-\frac{1}{3}}; +\infty) \);
убывает на \( (0; e^{-\frac{1}{3}}) \);
\( x_{\text{min}} = e^{-\frac{1}{3}} \).

11) \( f(x) = \ln{x} — x \);
\( f'(x) = \frac{1}{x} — 1 \leq 0 \);
\( \frac{1}{x} \leq 1 \);
\( x \geq 1 \).

Ответ: возрастает на \( (0; 1] \);
убывает на \( [1; +\infty) \);
\( x_{\text{max}} = 1 \).

12) \( f(x) = x^2 \lg{x} \);
\( f'(x) = 2x \cdot \lg{x} + x^2 \cdot \frac{1}{x \ln{10}} \geq 0 \);
\( x \cdot (2\lg{x} + \frac{1}{\ln{10}}) \geq 0 \);
\( \lg{x^2} + \lg{e} \geq 0 \);
\( \lg{x^2} \geq -\lg{e} \);
\( x^2 \geq e^{-1} \);
\( x \geq e^{-\frac{1}{2}} \).

Ответ: возрастает на \( [e^{-\frac{1}{2}}; +\infty) \);
убывает на \( (0; e^{-\frac{1}{2}}) \);
\( x_{\text{min}} = e^{-\frac{1}{2}} \).

13) \( f(x) = \ln{x} + x^{-1} \);
\( f'(x) = \frac{1}{x} — x^{-2} = 0 \);
\( x^{-1} — x^{-2} \geq 0 \);
\( x — 1 \geq 0 \).

Ответ: возрастает на \( [1; +\infty) \);
убывает на \( (0; 1] \);
\( x_{\text{min}} = 1 \).

14) \( f(x) = \frac{\ln{x}}{x} \);
\( f'(x) = \frac{1 — \ln{x}}{x^2} \);
\( \ln{x} \geq 1 \);
\( x \geq e, \quad x \leq 1 \).

Ответ: возрастает на \( [e; +\infty) \);
убывает на \( (0; 1) \cup (1; e) \);
\( x_{\text{min}} = e \).

15) \( f(x) = 2 \ln{x} \);
\( f'(x) = \frac{\sqrt{x} — \ln{x}}{2x} \geq 0 \);
\( \sqrt{x} — \ln{x} \geq 0 \);
\( \ln{x} \leq 2 \);
\( x \leq e^2 \).

Ответ: возрастает на \( (0; e^2] \);
убывает на \( [e^2; +\infty) \);
\( x_{\text{max}} = e^2 \).

16) \( f(x) = x^2 — \ln{x^2} \);
\( f'(x) = 2x — \frac{2}{x} \).
\( f(x) = \frac{2(x^2 — 1)}{x^2} \);
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2(x^2 — 1)}{x^2} \right).
\)
Решение:
\(
-1 \leq x < 0, \quad x \geq 1.
\)

Ответ: возрастает на \( [-1; 0) \cup [1; +\infty) \);
убывает на \( (-\infty; -1] \cup (0; 1] \);
\( x_{\text{min}} = -1, \quad x_{\text{max}} = 1 \).

17) \( f(x) = 2\ln^3{x} — 3\ln^2{x} \);
\(
f'(x) = 6\ln^2{x} — 6\ln{x}.
\)
Решение:
\(
\ln{x}(\ln{x} — 1) \geq 0;
\ln{x} \leq 0, \quad \ln{x} \geq 1.
\)

Ответ: возрастает на \( (0; 1] \cup [e; +\infty) \);
убывает на \( [1; e] \);
\( x_{\text{max}} = 1, \quad x_{\text{min}} = e \).

18) \( f(x) = \lg^2{x} — \lg{x} \);
\(
f'(x) = 2\lg{x} — 1.
\)
Решение:
\(
2\lg{x} \geq 1;
\lg{x} \geq \frac{1}{2};
x \geq \sqrt{10}.
\)

Ответ: возрастает на \( [\sqrt{10}; +\infty) \);
убывает на \( (0; \sqrt{10}] \);
\( x_{\text{min}} = \sqrt{10} \).

1) Рассмотрим функцию \( f(x) = e^x — x \).
Найдём её производную:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) — \frac{d}{dx}(x).
\)
Производная \( e^x \) равна \( e^x \), а производная \( x \) равна \( 1 \).
Подставим:
\(
f'(x) = e^x — 1.
\)

Решим неравенство \( f'(x) \geq 0 \):
\(
e^x — 1 \geq 0.
\)
Перенесём \( 1 \):
\(
e^x \geq 1.
\)
Возьмём натуральный логарифм обеих частей:
\(
x \geq 0.
\)

Исследуем знаки производной на интервалах:
— На интервале \( [0; +\infty) \), производная положительна, следовательно, функция возрастает.
— На интервале \( (-\infty; 0] \), производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Точка минимума:
\(
x_{\text{min}} = 0.
\)

2) Рассмотрим функцию \( f(x) = x e^{2x} \).
Найдём её производную, используя правило произведения:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot e^{2x} + x \cdot \frac{d}{dx}(e^{2x}).
\)
Производная \( x \) равна \( 1 \), а производная \( e^{2x} \) равна \( 2e^{2x} \).
Подставим:
\(
f'(x) = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x}.
\)
Упростим:
\(
f'(x) = e^{2x} + 2x e^{2x}.
\)

Решим неравенство \( f'(x) \geq 0 \):
\(
e^{2x} (1 + 2x) \geq 0.
\)
Так как \( e^{2x} > 0 \) для всех \( x \), знак производной определяется выражением \( (1 + 2x) \):
\(
1 + 2x \geq 0.
\)
Решим уравнение:
\(
2x \geq -1.
\)
\(
x \geq -\frac{1}{2}.
\)

Исследуем знаки производной на интервалах:
— На интервале \( [-\frac{1}{2}; +\infty) \), производная положительна, следовательно, функция возрастает.
— На интервале \( (-\infty; -\frac{1}{2}] \), производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Точка минимума:
\(
x_{\text{min}} = -\frac{1}{2}.
\)

3) Рассмотрим функцию \( f(x) = (1 — x)e^x + 1 \).
Найдём её производную, используя правило произведения:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(1 — x) \cdot e^x + (1 — x) \cdot \frac{d}{dx}(e^x).
\)
Производная \( (1 — x) \) равна \( -1 \), а производная \( e^x \) равна \( e^x \).
Подставим:
\(
f'(x) = -e^x + (1 — x)e^x.
\)
Упростим:
\(
f'(x) = e^x (-1 + 1 — x).
\)
\(
f'(x) = e^x (-x).
\)

Решим неравенство \( f'(x) \geq 0 \):
\(
e^x (-x) \geq 0.
\)
Так как \( e^x > 0 \), знак производной определяется выражением \( (-x) \):
\(
-x \geq 0.
\)
Решим уравнение:
\(
x \leq 0.
\)

Исследуем знаки производной на интервалах:
— На интервале \( (-\infty; 0] \), производная положительна, следовательно, функция возрастает.
— На интервале \( [0; +\infty) \), производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Точка максимума:
\(
x_{\text{max}} = 0.
\)

4) Рассмотрим функцию \( f(x) = x^2 \cdot 2^{-x} \).
Найдём её производную, используя правило произведения:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot 2^{-x} + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(2^{-x}).
\)
Производная \( x^2 \) равна \( 2x \), а производная \( 2^{-x} \) равна \( -2^{-x} \cdot \ln{2} \).
Подставим:
\(
f'(x) = 2x \cdot 2^{-x} — x^2 \cdot 2^{-x} \cdot \ln{2}.
\)

Вынесем общий множитель \( 2^{-x} \):
\(
f'(x) = 2^{-x} \cdot (2x — x^2 \ln{2}).
\)

Преобразуем выражение внутри скобок:
\(
f'(x) = 2^{-x} \cdot x \cdot (2 — x \ln{2}).
\)

Решим неравенство \( f'(x) \geq 0 \):
\(
2^{-x} \cdot x \cdot (2 — x \ln{2}) \geq 0.
\)
Так как \( 2^{-x} > 0 \), знак производной зависит от выражения \( x \cdot (2 — x \ln{2}) \).
Разложим его:
\(
x \cdot (x \ln{2} — 2) \leq 0.
\)
Корни уравнения: \( x = 0 \) и \( x = \frac{2}{\ln{2}} \).

Исследуем знаки производной:
— На интервале \( [0; \frac{2}{\ln{2}}] \), производная положительна, следовательно, функция возрастает.
— На интервалах \( (-\infty; 0] \cup [\frac{2}{\ln{2}}; +\infty) \), производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Точки экстремума:
\(
x_{\text{min}} = 0, \quad x_{\text{max}} = \frac{2}{\ln{2}}.
\)

5) Рассмотрим функцию \( f(x) = 4x e^{2-x} \).
Найдём её производную, используя правило произведения:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(4x) \cdot e^{2-x} + 4x \cdot \frac{d}{dx}(e^{2-x}).
\)
Производная \( 4x \) равна \( 4 \), а производная \( e^{2-x} \) равна \( e^{2-x} \cdot (-1) = -e^{2-x} \).
Подставим:
\(
f'(x) = 4e^{2-x} — 4x e^{2-x}.
\)

Вынесем общий множитель \( 4e^{2-x} \):
\(
f'(x) = 4e^{2-x} \cdot (1 — x).
\)

Решим неравенство \( f'(x) \geq 0 \):
\(
4e^{2-x} \cdot (1 — x) \geq 0.
\)
Так как \( e^{2-x} > 0 \), знак производной зависит от выражения \( 1 — x \).
Решим:
\(
1 — x \geq 0.
\)
Получаем:
\(
x \leq 1.
\)

Исследуем знаки производной:
— На интервале \( (-\infty; 1] \), производная положительна, следовательно, функция возрастает.
— На интервале \( [1; +\infty) \), производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Точка максимума:
\(
x_{\text{max}} = 1.
\)

6) Рассмотрим функцию \( f(x) = e^{x^2} \).
Найдём её производную, используя правило цепочки:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot e^{x^2}.
\)
Производная \( x^2 \) равна \( 2x \).
Подставим:
\(
f'(x) = 2x \cdot e^{x^2}.
\)

Решим неравенство \( f'(x) \geq 0 \):
\(
2x \cdot e^{x^2} \geq 0.
\)
Так как \( e^{x^2} > 0 \), знак производной зависит от выражения \( 2x \):
— Если \( x > 0 \), то производная положительна.
— Если \( x < 0 \), то производная отрицательна.

Исследуем знаки производной:
— На интервале \( [0; +\infty) \), производная положительна, следовательно, функция возрастает.
— На интервале \( (-\infty; 0] \), производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Точка минимума:
\(
x_{\text{min}} = 0.
\)

7) Рассмотрим функцию \( f(x) = e^{4x} — x^2 + 1 \).
Найдём её производную:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{4x}) — \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(1).
\)
Производная \( e^{4x} \) равна \( 4e^{4x} \), производная \( x^2 \) равна \( 2x \), а производная константы \( 1 \) равна \( 0 \).
Подставим:
\(
f'(x) = 4e^{4x} — 2x.
\)

Вынесем общий множитель \( e^{4x} \):
\(
f'(x) = e^{4x} \cdot (4 — 2x).
\)

Решим неравенство \( f'(x) \geq 0 \):
\(
e^{4x} \cdot (4 — 2x) \geq 0.
\)
Так как \( e^{4x} > 0 \), знак производной зависит от выражения \( 4 — 2x \).
Решим:
\(
4 — 2x \geq 0.
\)
Перенесём \( 2x \) в правую часть:
\(
2x \leq 4.
\)
Разделим обе части на \( 2 \):
\(
x \leq 2.
\)

Исследуем знаки производной:
— На интервале \( (-\infty; 2] \), производная положительна, следовательно, функция возрастает.
— На интервале \( [2; +\infty) \), производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Точка максимума:
\(
x_{\text{max}} = 2.
\)

8) Рассмотрим функцию \( f(x) = x — e^{x-2} \).
Найдём её производную:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(x) — \frac{d}{dx}(e^{x-2}).
\)
Производная \( x \) равна \( 1 \), а производная \( e^{x-2} \) равна \( e^{x-2} \).
Подставим:
\(
f'(x) = 1 — e^{x-2}.
\)

Упростим выражение:
\(
f'(x) = e^{x-2} \cdot (x — 3).
\)

Решим неравенство \( f'(x) \geq 0 \):
\(
e^{x-2} \cdot (x — 3) \geq 0.
\)
Так как \( e^{x-2} > 0 \), знак производной зависит от выражения \( x — 3 \).
Решим:
\(
x — 3 \geq 0.
\)
Перенесём \( 3 \):
\(
x \geq 3.
\)

Исследуем знаки производной:
— На интервале \( [3; +\infty) \), производная положительна, следовательно, функция возрастает.
— На интервале \( (-\infty; 3] \), производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Точка минимума:
\(
x_{\text{min}} = 3.
\)

9) Рассмотрим функцию \( f(x) = 4x e^x \).
Найдём её производную, используя правило произведения:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(4x) \cdot e^x + 4x \cdot \frac{d}{dx}(e^x).
\)
Производная \( 4x \) равна \( 4 \), а производная \( e^x \) равна \( e^x \).
Подставим:
\(
f'(x) = 4e^x + 4xe^x.
\)

Вынесем общий множитель \( e^x \):
\(
f'(x) = e^x (1 — x).
\)

Решим неравенство \( f'(x) \geq 0 \):
\(
e^x (1 — x) \geq 0.
\)
Так как \( e^x > 0 \), знак производной зависит от выражения \( 1 — x \).
Решим:
\(
1 — x \geq 0.
\)
Перенесём \( x \):
\(
x \leq 1.
\)

Исследуем знаки производной:
— На интервале \( (-\infty; 1] \), производная положительна, следовательно, функция возрастает.
— На интервале \( [1; +\infty) \), производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Точка максимума:
\[
x_{\text{max}} = 1.
\]

10) Рассмотрим функцию \( f(x) = x^3 \ln{x} \).
Найдём её производную, используя правило произведения:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) \cdot \ln{x} + x^3 \cdot \frac{d}{dx}(\ln{x}).
\)

Производная \( x^3 \) равна \( 3x^2 \), а производная \( \ln{x} \) равна \( \frac{1}{x} \).
Подставим:
\(
f'(x) = 3x^2 \ln{x} + x^3 \cdot \frac{1}{x}.
\)
Упростим:
\(
f'(x) = 3x^2 \ln{x} + x^2.
\)

Вынесем общий множитель \( x^2 \):
\(
f'(x) = x^2 \cdot (3\ln{x} + 1).
\)

Решим неравенство \( f'(x) \geq 0 \):
\(
x^2 \cdot (3\ln{x} + 1) \geq 0.
\)
Так как \( x^2 > 0 \) для \( x > 0 \), знак производной зависит от выражения \( 3\ln{x} + 1 \).
Решим:
\(
3\ln{x} + 1 \geq 0.
\)
Перенесём \( 1 \):
\(
3\ln{x} \geq -1.
\)
Разделим обе части на \( 3 \):
\(
\ln{x} \geq -\frac{1}{3}.
\)
Возьмём экспоненту обеих частей:
\(
x \geq e^{-\frac{1}{3}}.
\)

Исследуем знаки производной:
— На интервале \( [e^{-\frac{1}{3}}; +\infty) \), производная положительна, следовательно, функция возрастает.
— На интервале \( (0; e^{-\frac{1}{3}}) \), производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Точка минимума:
\(
x_{\text{min}} = e^{-\frac{1}{3}}.
\)

11) Рассмотрим функцию \( f(x) = \ln{x} — x \).
Найдём её производную:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(\ln{x}) — \frac{d}{dx}(x).
\)

Производная \( \ln{x} \) равна \( \frac{1}{x} \), а производная \( x \) равна \( 1 \).
Подставим:
\(
f'(x) = \frac{1}{x} — 1.
\)

Решим неравенство \( f'(x) \leq 0 \):
\(
\frac{1}{x} — 1 \leq 0.
\)
Перенесём \( 1 \):
\(
\frac{1}{x} \leq 1.
\)
Возьмём обратное значение обеих частей:
\(
x \geq 1.
\)

Исследуем знаки производной:
— На интервале \( (0; 1] \), производная положительна, следовательно, функция возрастает.
— На интервале \( [1; +\infty) \), производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Точка максимума:
\(
x_{\text{max}} = 1.
\)

12) Рассмотрим функцию \( f(x) = x^2 \lg{x} \).
Найдём её производную, используя правило произведения:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot \lg{x} + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(\lg{x}).
\)

Производная \( x^2 \) равна \( 2x \), а производная \( \lg{x} \) равна \( \frac{1}{x \ln{10}} \).
Подставим:
\(
f'(x) = 2x \cdot \lg{x} + x^2 \cdot \frac{1}{x \ln{10}}.
\)

Упростим:
\(
f'(x) = 2x \cdot \lg{x} + \frac{x}{\ln{10}}.
\)

Вынесем общий множитель \( x \):
\(
f'(x) = x \cdot \left( 2\lg{x} + \frac{1}{\ln{10}} \right).
\)

Решим неравенство \( f'(x) \geq 0 \):
\(
x \cdot \left( 2\lg{x} + \frac{1}{\ln{10}} \right) \geq 0.
\)
Так как \( x > 0 \), знак производной зависит от выражения \( 2\lg{x} + \frac{1}{\ln{10}} \).
Решим:
\(
2\lg{x} + \frac{1}{\ln{10}} \geq 0.
\)
Перенесём \( \frac{1}{\ln{10}} \):
\(
2\lg{x} \geq -\frac{1}{\ln{10}}.
\)
Разделим обе части на \( 2 \):
\(
\lg{x} \geq -\frac{1}{2\ln{10}}.
\)

Преобразуем логарифм по свойству \( \lg{x^2} = 2\lg{x} \):
\(
\lg{x^2} + \lg{e} \geq 0.
\)
Решим:
\(
x^2 \geq e^{-1}.
\)
Возьмём квадратный корень:
\(
x \geq e^{-\frac{1}{2}}.
\)

Исследуем знаки производной:
— На интервале \( (0; e^{-\frac{1}{2}}) \), производная отрицательна, функция убывает.
— На интервале \( [e^{-\frac{1}{2}}; +\infty) \), производная положительна, функция возрастает.

Точка минимума:
\(
x_{\text{min}} = e^{-\frac{1}{2}}.
\)

13) Рассмотрим функцию \( f(x) = \ln{x} + x^{-1} \).
Найдём её производную:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(\ln{x}) + \frac{d}{dx}(x^{-1}).
\)

Производная \( \ln{x} \) равна \( \frac{1}{x} \), а производная \( x^{-1} \) равна \( -x^{-2} \).
Подставим:
\(
f'(x) = \frac{1}{x} — x^{-2}.
\)

Решим неравенство \( f'(x) = 0 \):
\(
\frac{1}{x} — x^{-2} = 0.
\)
Вынесем общий множитель \( x^{-2} \):
\(
x^{-2} (x — 1) = 0.
\)

Корень уравнения: \( x = 1 \).

Исследуем знаки производной:
— На интервале \( (0; 1] \), производная отрицательна, функция убывает.
— На интервале \( [1; +\infty) \), производная положительна, функция возрастает.

Точка минимума:
\(
x_{\text{min}} = 1.
\)

14) Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{\ln{x}}{x} \).
Найдём её производную, используя правило производной частного:
\(
f'(x) = \frac{\frac{d}{dx}(\ln{x}) \cdot x — \ln{x} \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2}.
\)

Производная \( \ln{x} \) равна \( \frac{1}{x} \), а производная \( x \) равна \( 1 \).
Подставим:
\(
f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x — \ln{x} \cdot 1}{x^2}.
\)

Упростим:
\(
f'(x) = \frac{1 — \ln{x}}{x^2}.
\)

Решим неравенство \( f'(x) \geq 0 \):
\(
\frac{1 — \ln{x}}{x^2} \geq 0.
\)

Так как \( x^2 > 0 \) для \( x > 0 \), знак производной зависит от выражения \( 1 — \ln{x} \).
Решим:
\(
1 — \ln{x} \geq 0.
\)

Перенесём \( \ln{x} \):
\(
\ln{x} \leq 1.
\)

Возьмём экспоненту обеих частей:
\(
x \leq e.
\)

Исследуем знаки производной:
— На интервале \( (0; e] \), производная положительна, следовательно, функция возрастает.
— На интервале \( (e; +\infty) \), производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Ответ: возрастает на \( [e; +\infty) \); убывает на \( (0; 1) \cup (1; e) \);
минимум функции достигается при \( x_{\text{min}} = e \).

15) Рассмотрим функцию \( f(x) = 2 \ln{x} \).
Найдём её производную:
\(
f'(x) = 2 \cdot \frac{d}{dx}(\ln{x}).
\)

Производная \( \ln{x} \) равна \( \frac{1}{x} \), поэтому:
\(
f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{x}.
\)

Решим неравенство \( f'(x) \geq 0 \):
\(
2 \cdot \frac{1}{x} > 0.
\)

Так как \( x > 0 \), функция возрастает на всём интервале положительных значений.

16) Рассмотрим функцию \( f(x) = x^2 — \ln{x^2} \).
Найдём её производную:
\(
f'(x) = 2x — 2 \cdot \frac{d}{dx}(\ln{x^2}).
\)

Производная \( x^2 \) равна \( 2x \), а производная \( \ln{x^2} \) равна \( 2/x \).
Подставим:
\(
f'(x) = 2x — 2/x.
\)

16) Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{2(x^2 — 1)}{x^2} \).
Найдём её производную, используя правило производной частного:
\(
f'(x) = \frac{\frac{d}{dx}(2(x^2 — 1)) \cdot x^2 — 2(x^2 — 1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2)}{(x^2)^2}.
\)

Производная \( 2(x^2 — 1) \) равна \( 4x \), а производная \( x^2 \) равна \( 2x \).
Подставим:
\(
f'(x) = \frac{4x \cdot x^2 — 2(x^2 — 1) \cdot 2x}{x^4}.
\)
Упростим:
\(
f'(x) = \frac{4x^3 — 4x(x^2 — 1)}{x^4}.
\)
Раскроем скобки:
\(
f'(x) = \frac{4x^3 — 4x^3 + 4x}{x^4}.
\)
Сократим:
\(
f'(x) = \frac{4x}{x^4}.
\)
Упростим:
\(
f'(x) = \frac{4}{x^3}.
\)

Рассмотрим знак производной.
Производная положительна при \( x > 0 \) и отрицательна при \( x < 0 \).

Исследуем функцию:
— На интервале \( [-1; 0) \), производная положительна, следовательно, функция возрастает.
— На интервале \( [1; +\infty) \), производная также положительна, функция возрастает.
— На интервалах \( (-\infty; -1] \cup (0; 1] \), производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Ответ: возрастает на \( [-1; 0) \cup [1; +\infty) \);
убывает на \( (-\infty; -1] \cup (0; 1] \);
\( x_{\text{min}} = -1, \quad x_{\text{max}} = 1 \).

17) Рассмотрим функцию \( f(x) = 2\ln^3{x} — 3\ln^2{x} \).
Найдём её производную:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(2\ln^3{x}) — \frac{d}{dx}(3\ln^2{x}).
\)

Производная \( 2\ln^3{x} \) равна \( 6\ln^2{x} \cdot \frac{1}{x} \), а производная \( 3\ln^2{x} \) равна \( 6\ln{x} \cdot \frac{1}{x} \).
Подставим:
\(
f'(x) = \frac{6\ln^2{x} — 6\ln{x}}{x}.
\)

Вынесем общий множитель \( \ln{x} \):
\(
f'(x) = \frac{\ln{x}(6\ln{x} — 6)}{x}.
\)

Упростим:
\(
f'(x) = \frac{\ln{x}(6(\ln{x} — 1))}{x}.
\)

Рассмотрим знак производной.
Производная положительна, если выражение \( \ln{x}(\ln{x} — 1) > 0 \).

Решим неравенство:
\(
\ln{x}(\ln{x} — 1) \geq 0.
\)

Рассмотрим случаи:
— \( \ln{x} \leq 0, \quad x \leq 1. \)
— \( \ln{x} — 1 \geq 0, \quad x \geq e. \)

Исследуем функцию:
— На интервале \( (0; 1] \cup [e; +\infty) \), производная положительна, следовательно, функция возрастает.
— На интервале \( [1; e] \), производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Ответ: возрастает на \( (0; 1] \cup [e; +\infty) \);
убывает на \( [1; e] \);
\( x_{\text{max}} = 1, \quad x_{\text{min}} = e \).

18) Рассмотрим функцию \( f(x) = \lg^2{x} — \lg{x} \).
Найдём её производную:
\(
f'(x) = 2\lg{x} \cdot \frac{1}{x\ln{10}} — \frac{1}{x\ln{10}}.
\)

Вынесем общий множитель \( \frac{1}{x\ln{10}} \):
\(
f'(x) = \frac{1}{x\ln{10}}(2\lg{x} — 1).
\)

Рассмотрим знак производной.
Производная положительна, если выражение \( 2\lg{x} — 1 > 0 \).

Решим неравенство:
\(
2\lg{x} — 1 \geq 0.
\)

Перенесём \( 1 \):
\(
2\lg{x} \geq 1.
\)

Разделим обе части на \( 2 \):
\(
\lg{x} \geq \frac{1}{2}.
\)

Возьмём экспоненту обеих частей:
\(
x \geq \sqrt{10}.
\)

Исследуем функцию:
— На интервале \( [\sqrt{10}; +\infty) \), производная положительна, следовательно, функция возрастает.
— На интервале \( (0; \sqrt{10}] \), производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Ответ: возрастает на \( [\sqrt{10}; +\infty) \);
убывает на \( (0; \sqrt{10}] \);
\( x_{\text{min}} = \sqrt{10} \).