ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:}
\)

\(
f(x) = xe^{\frac{x}{2}}
\)

\(
f(x) = e^{x^4 — 2x^2}
\)

\(
f(x) = 5^{-x^3 + 3x + 1}
\)

\(
f(x) = (4x — 1)e^{2x}
\)

\(
f(x) = x^3 \cdot 3^{-x}
\)

\(
f(x) = \frac{x + 3}{e^x}
\)

\(
f(x) = 0.5x^2 — \ln x
\)

\(
f(x) = x \ln^2 x
\)

\(
f(x) = \frac{\ln x}{x}
\)

\(
f(x) = \ln x^2 + \frac{2}{x}
\)

\(
f(x) = \ln^3 x — 12 \ln x
\)

\(
f(x) = \lg^4 x — 2 \lg^2 x
\)

1)
\( f(x) = x e^{\frac{x}{2}}; \)
\( f'(x) = e^{\frac{x}{2}} + x \cdot \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}} \geq 0; \)
\( e^{\frac{x}{2}} \cdot \left(1 + \frac{x}{2}\right) \geq 0; \)
\( 2 + x \geq 0; \)
\( x \geq -2; \)
Ответ: возрастает на \([-2; +\infty);\)
убывает на \((-\infty; -2];\)
\( x_{\min} = -2. \)

2)
\( f(x) = e^{x^4 — 2x^2}; \)
\( f'(x) = (4x^3 — 2 \cdot 2x) \cdot e^{x^4 — 2x^2} \geq 0; \)
\( 4x^3 — 4x \geq 0; \)
\( 4x(x^2 — 1) \geq 0; \)
\( (x+1) x (x-1) \geq 0; \)
\( -1 \leq x \leq 0, \quad x \geq 1; \)
Ответ: возрастает на \([-1; 0] \cup [1; +\infty);\)
убывает на \((-\infty; -1] \cup [0; 1];\)
\( x_{\min} = -1, \quad x_{\min} = 1, \quad x_{\max} = 0. \)

3)
\( f(x) = 5^{-x^3 + 3x + 1}; \)
\( f'(x) = (-3x^2 + 3) \cdot 5^{-x^3 + 3x + 1} \cdot \ln 5 \geq 0; \)
\( 3 — 3x^2 \geq 0; \)
\( x^2 — 1 \leq 0; \)
\( (x+1)(x-1) \leq 0; \)
\( -1 \leq x \leq 1; \)

Ответ: возрастает на \((-1; 1);\)
убывает на \((-\infty; -1] \cup [1; +\infty);\)
\( x_{\min} = -1, \quad x_{\max} = 1. \)

4)
\( f(x) = (4x — 1) e^{2x}; \)
\( f'(x) = 4 e^{2x} + (4x — 1) \cdot 2 e^{2x} \geq 0; \)
\( 2 e^{2x} \cdot (2 + 4x — 1) \geq 0; \)
\( 4x + 1 \geq 0; \)
\( x \geq -\frac{1}{4}; \)

Ответ: возрастает на \(\left[-\frac{1}{4}; +\infty \right);\)
убывает на \(\left(-\infty; -\frac{1}{4}\right);\)
\( x_{\min} = -\frac{1}{4}. \)

5)
\( f(x) = x^3 \cdot 3^{-x}; \)
\( f'(x) = 3x^2 \cdot 3^{-x} — x^3 \cdot 3^{-x} \cdot \ln 3 \geq 0; \)
\( x^2 \cdot 3^{-x} \cdot (3 — x \ln 3) \geq 0; \)
\( x \ln 3 \leq 3; \)
\( x \ln 3 \leq 3; \)
\( x \leq \frac{3}{\ln 3}; \)

Ответ: возрастает на \(\left(-\infty; \frac{3}{\ln 3}\right);\)
убывает на \(\left[\frac{3}{\ln 3}; +\infty\right);\)
\( x_{\max} = \frac{3}{\ln 3}. \)

6)
\( f(x) = \frac{x+3}{e^x}; \)
\( f'(x) = \frac{e^x — (x+3) \cdot e^x}{e^{2x}} \geq 0; \)
\( e^x \cdot (1 — x — 3) \geq 0; \)
\( x + 2 \leq 0; \)
\( x \leq -2; \)

Ответ: возрастает на \((-\infty; -2);\)
убывает на \((-2; +\infty);\)
\( x_{\max} = -2. \)

7)
\( f(x) = 0.5 x^2 — \ln x; \)
\( f'(x) = 0.5 \cdot 2x — \frac{1}{x} \geq 0; \)
\( x^2 — 1 \geq 0; \)
\( (x+1)(x-1) \geq 0; \)
\( x \geq 1; \)

Ответ: возрастает на \((1; +\infty);\)
убывает на \((0; 1];\)
\( x_{\min} = 1. \)

8)
\( f(x) = x \ln^2 x; \)
\( f'(x) = \ln^2 x + x \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} \geq 0; \)
\( \ln^2 x + 2 \ln x \geq 0; \)
\( \ln x \cdot (\ln x + 2) \geq 0; \)
\( \ln x \leq -2, \quad \ln x \geq 0; \)
\( 0 < x \leq \frac{1}{e^2}, \quad x \geq 1; \)

Ответ: возрастает на \((0; \frac{1}{e^2}]\) \(\cup [1; +\infty);\)
убывает на \(\left[\frac{1}{e^2}; 1\right];\)
\( x_{\max} = \frac{1}{e^2}, \quad x_{\min} = 1. \)

9)
\( f(x) = \frac{\ln x}{x}; \)
\( f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x — \ln x \cdot 1}{x^2} \geq 0; \)
\( 1 — \ln x \geq 0; \)
\( \ln x \leq 1; \)
\( 0 < x \leq e; \)

Ответ: возрастает на \((0; e];\)
убывает на \((e; +\infty);\)
\( x_{\max} = e. \)

10)
\( f(x) = \ln x^2 + \frac{2}{x}; \)
\( f'(x) = 2x \cdot \frac{1}{x^2} — \frac{2}{x^2} \geq 0; \)
\( 2 — 2 \geq 0; \)
\( x — 1 \geq 0; \)
\( x \geq 1, \quad x \neq 0; \)

Ответ: возрастает на \((1; +\infty);\)
убывает на \((-\infty; 0) \cup (0; 1];\)
\( x_{\min} = 1. \)

11)
\( f(x) = \ln^3 x — 12 \ln x; \)
\( f'(x) = 3 \ln^2 x \cdot \frac{1}{x} — 12 \cdot \frac{1}{x} \geq 0; \)
\( 3 \ln^2 x — 12 \geq 0; \)
\( \ln^2 x — 4 \geq 0; \)
\( (\ln x + 2)(\ln x — 2) \geq 0; \)
\( \ln x \leq -2, \quad \ln x \geq 2; \)
\( 0 < x \leq \frac{1}{e^2}, \quad x \geq e^2; \)

Ответ: возрастает на \(\left(0; \frac{1}{e^2}\right] \cup [e^2; +\infty);\)
убывает на \(\left[\frac{1}{e^2}; e^2\right];\)
\( x_{\max} = \frac{1}{e^2}, \quad x_{\min} = e^2. \)

12)
\( f(x) = \lg^4 x — 2 \lg^2 x; \)
\( f'(x) = 4 \lg^3 x \cdot \frac{1}{x \ln 10} — 2 \cdot 2 \lg x \cdot \frac{1}{x \ln 10} \geq 0; \)
\( 4 \lg^3 x — 4 \lg x \geq 0; \)
\( 4 \lg x \cdot (\lg x + 1)(\lg x — 1) \geq 0; \)
\( -1 \leq \lg x \leq 0, \quad \lg x \geq 1; \)
\( 0.1 \leq x \leq 1, \quad x \geq 10; \)

Ответ: возрастает на \((0.1; 1] \cup [10; +\infty);\)
убывает на \((0; 0.1] \cup [1; 10];\)
\( x_{\min} = 0.1, \quad x_{\min} = 10, \quad x_{\max} = 1. \)

1)
Функция:
\(
f(x) = x e^{\frac{x}{2}}
\)

Найдём производную:
\(
f'(x) = e^{\frac{x}{2}} + x \cdot \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}} = e^{\frac{x}{2}} \left(1 + \frac{x}{2}\right)
\)

Исследуем знак производной:
\(
e^{\frac{x}{2}} > 0 \quad \forall x,
\)
значит знак зависит от выражения
\(
1 + \frac{x}{2} \geq 0 — x \geq -2.
\)

Следовательно,
функция возрастает при \(x \geq -2\),
убывает при \(x \leq -2\).

Точка минимума:
\(
x_{\min} = -2.
\)

2)
Функция:
\(
f(x) = e^{x^4 — 2x^2}
\)

Производная:
\(
f'(x) = (4x^3 — 4x) e^{x^4 — 2x^2} = 4x(x^2 — 1) e^{x^4 — 2x^2}
\)

Поскольку \(e^{x^4 — 2x^2} > 0\), знак производной определяется знаком:
\(
4x(x^2 — 1) \geq 0 — x(x-1)(x+1) \geq 0.
\)

Рассмотрим знаки на промежутках:
— При \(x < -1\): \(x < 0\), \(x-1 < 0\), \(x+1 < 0\) → произведение отрицательно.
— При \(-1 \leq x \leq 0\): \(x \leq 0\), \(x-1 < 0\), \(x+1 \geq 0\). Произведение неотрицательно (проверка знаков показывает, что произведение \(\geq 0\)).
— При \(0 \leq x \leq 1\): \(x \geq 0\), \(x-1 \leq 0\), \(x+1 > 0\) → произведение \(\leq 0\).
— При \(x \geq 1\): все множители \(\geq 0\), произведение \(\geq 0\).

Итого:
функция возрастает на \([-1; 0] \cup [1; +\infty)\),
убывает на \((-\infty; -1] \cup [0; 1]\).

Точки экстремумов:
минимумы в \(x = -1\) и \(x = 1\),
максимум в \(x = 0\).

3)
Функция:
\(
f(x) = 5^{-x^3 + 3x + 1}
\)

Производная:
\(
f'(x) = (-3x^2 + 3) \cdot 5^{-x^3 + 3x + 1} \cdot \ln 5
\)

Так как \(5^{-x^3 + 3x + 1} > 0\) и \(\ln 5 > 0\), знак производной зависит от:
\(
-3x^2 + 3 \geq 0 — 3 — 3x^2 \geq 0 — 1 — x^2 \geq 0 — (x+1)(x-1) \leq 0,
\)
то есть
\(
-1 \leq x \leq 1.
\)

Функция возрастает на \((-1; 1)\), убывает на \((-\infty; -1] \cup [1; +\infty)\).

Экстремумы:
минимум в \(x = -1\),
максимум в \(x = 1\).

4)
Функция:
\(
f(x) = (4x — 1) e^{2x}
\)

Производная:
\(
f'(x) = 4 e^{2x} + (4x — 1) \cdot 2 e^{2x} = 2 e^{2x} (2 + 4x — 1) = 2 e^{2x} (4x + 1)
\)

Поскольку \(e^{2x} > 0\), знак зависит от:
\(
4x + 1 \geq 0 — x \geq -\frac{1}{4}.
\)

Функция возрастает на \(\left[-\frac{1}{4}; +\infty\right)\), убывает на \(\left(-\infty; -\frac{1}{4}\right)\).

Минимум:
\(
x_{\min} = -\frac{1}{4}.
\)

5)
Функция:
\(
f(x) = x^3 \cdot 3^{-x}
\)

Производная:
\(
f'(x) = 3x^2 \cdot 3^{-x} — x^3 \cdot 3^{-x} \ln 3 = x^2 \cdot 3^{-x} (3 — x \ln 3)
\)

Так как \(x^2 \geq 0\) и \(3^{-x} > 0\), знак зависит от:
\(
3 — x \ln 3 \geq 0 — x \leq \frac{3}{\ln 3}.
\)

Функция возрастает на \(\left(-\infty; \frac{3}{\ln 3}\right)\), убывает на \(\left[\frac{3}{\ln 3}; +\infty\right)\).

Максимум:
\(
x_{\max} = \frac{3}{\ln 3}.
\)

6)
Функция:
\(
f(x) = \frac{x+3}{e^x}
\)

Производная (используем правило частного):
\(
f'(x) = \frac{e^x \cdot 1 — (x+3) e^x}{e^{2x}} = \frac{e^x (1 — x — 3)}{e^{2x}} = e^{-x} (1 — x — 3) = e^{-x} ( — x — 2 )
\)

Поскольку \(e^{-x} > 0\), знак зависит от:
\(
— x — 2 \geq 0 — x \leq -2.
\)

Функция возрастает на \((-\infty; -2)\), убывает на \((-2; +\infty)\).

Максимум:
\(
x_{\max} = -2.
\)

7)
Функция:
\(
f(x) = 0.5 x^2 — \ln x
\)

Производная:
\(
f'(x) = 0.5 \cdot 2x — \frac{1}{x} = x — \frac{1}{x} = \frac{x^2 — 1}{x}
\)

Область определения: \(x > 0\).

Исследуем знак числителя:
\(
x^2 — 1 \geq 0 — x \geq 1.
\)

Так как \(x > 0\), знаменатель положителен, значит знак производной совпадает со знаком числителя.

Функция возрастает на \((1; +\infty)\), убывает на \((0; 1]\).

Минимум:
\(
x_{\min} = 1.
\)

8)
Функция:
\(
f(x) = x \ln^2 x
\)

Область определения: \(x > 0\).

Производная:
\(
f'(x) = \ln^2 x + x \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = \ln^2 x + 2 \ln x = \ln x (\ln x + 2).
\)

Исследуем знак:
\(
\ln x (\ln x + 2) \geq 0.
\)

Решаем неравенство:
— Либо \(\ln x \geq 0 — x \geq 1\),
— Либо \(\ln x + 2 \leq 0 — \ln x \leq -2 — x \leq e^{-2} = \frac{1}{e^2}\).

Итого:
функция возрастает на \((0; \frac{1}{e^2}] \cup [1; +\infty)\),
убывает на \(\left[\frac{1}{e^2}; 1\right]\).

Экстремумы:
максимум в \(x = \frac{1}{e^2}\),
минимум в \(x = 1\).

9)
Функция:
\(
f(x) = \frac{\ln x}{x}
\)

Область определения: \(x > 0\).

Производная (правило частного):
\(
f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x — \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 — \ln x}{x^2}.
\)

Так как \(x^2 > 0\), знак производной зависит от:
\(
1 — \ln x \geq 0 — \ln x \leq 1 — x \leq e.
\)

Функция возрастает на \((0; e]\), убывает на \((e; +\infty)\).

Максимум:
\(
x_{\max} = e.
\)

10)
Функция:
\(
f(x) = \ln x^2 + \frac{2}{x}.
\)

Продифференцируем:
\(
f'(x) = \frac{2x}{x^2} — \frac{2}{x^2} = \frac{2x — 2}{x^2} = \frac{2(x — 1)}{x^2}.
\)

Область определения: \(x \neq 0\).

Знак производной зависит от числителя:
\(
x — 1 \geq 0 — x \geq 1.
\)

Функция возрастает на \((1; +\infty)\), убывает на \((-\infty; 0) \cup (0; 1]\).

Минимум:
\(
x_{\min} = 1.
\)

11)
Функция:
\(
f(x) = \ln^3 x — 12 \ln x.
\)

Производная:
\(
f'(x) = 3 \ln^2 x \cdot \frac{1}{x} — 12 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3 \ln^2 x — 12}{x}.
\)

Область определения: \(x > 0\).

Исследуем знак числителя:
\(
3 \ln^2 x — 12 \geq 0 — \ln^2 x — 4 \geq 0 — (\ln x — 2)(\ln x + 2) \geq 0.
\)

Решение:
\(
\ln x \leq -2 \quad \text{или} \quad \ln x \geq 2,
\)
что эквивалентно:
\(
0 < x \leq e^{-2} = \frac{1}{e^2}, \quad x \geq e^2.
\)

Функция возрастает на \(\left(0; \frac{1}{e^2}\right] \cup [e^2; +\infty)\),
убывает на \(\left[\frac{1}{e^2}; e^2\right]\).

Экстремумы:
максимум в \(x = \frac{1}{e^2}\),
минимум в \(x = e^2\).

12)
Функция:
\(
f(x) = \lg^4 x — 2 \lg^2 x,
\)
где \(\lg x = \log_{10} x\).

Производная:
\(
f'(x) = 4 \lg^3 x \cdot \frac{1}{x \ln 10} — 4 \lg x \cdot \frac{1}{x \ln 10} = \frac{4 \lg x (\lg^2 x — 1)}{x \ln 10}.
\)

Область определения: \(x > 0\).

Исследуем знак числителя:
\(
4 \lg x (\lg x — 1)(\lg x + 1) \geq 0.
\)

Рассмотрим знаки:
— \(\lg x \geq 0 — x \geq 1\),
— \(\lg x — 1 \geq 0 — x \geq 10\),
— \(\lg x + 1 \geq 0 — x \geq 0.1\).

Решение неравенства:
\(
-1 \leq \lg x \leq 0 \quad \Rightarrow \quad 0.1 \leq x \leq 1,
\)
или
\(
\lg x \geq 1 \quad \Rightarrow \quad x \geq 10.
\)

Функция возрастает на \((0.1; 1] \cup [10; +\infty)\),
убывает на \((0; 0.1] \cup [1; 10]\).

Экстремумы:
минимумы в \(x = 0.1\) и \(x = 10\),
максимум в \(x = 1\).