ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:}
\)
1) \( f(x) = e^x + x \) на промежутке \( [-1; 1] \);
2) \( f(x) = x^2 e^{2x} \) на промежутке \( [-2; 1] \);
3) \( f(x) = 7^{(x^2 — 2x)} \) на промежутке \( [0; 2] \);
4) \( f(x) = 2^x + 2^{-x} \) на промежутке \( [-1; 1] \).

\(
\text{Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:}
\)

1) \( f(x) = e^x + x \), \((-1; 1)\);
\(
f'(x) = e^x + 1 \geq 0
\)
\(
e^x \geq -1; \quad x \in \mathbb{R}
\)
Значения функции:
\(
f(-1) = e^{-1} — 1 = -1
\)
\(
f(1) = e^1 + 1 = e + 1
\)
Ответ: \( e + 1; -1 \).

2) \( f(x) = x^2 e^{2x} \), \((-2; 1)\);
\(
f'(x) = 2x \cdot e^{2x} + x^2 \cdot 2e^{2x}
\)
\(
f'(x) = 2e^{2x} \cdot x(1 + x) \geq 0
\)
Решение: \( x \leq -1, \quad x \geq 0 \).

Значения функции:
\(
f(-2) = (-2)^2 \cdot e^{-4} = 4e^{-4}
\)
\(
f(0) = 0^2 \cdot e^0 = 0
\)
\(
f(-1) = (-1)^2 \cdot e^{-2} = e^{-2}
\)
\(
f(1) = 1^2 \cdot e^2 = e^3
\)

Ответ: \( e^3; 0 \).

3) \( f(x) = 7^{x^2 — 2x} \), \([0; 2]\);
\(
f'(x) = (2x-2) \cdot 7^{x^2 — 2x} \cdot \ln 7
\)
\(
(2x-2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\)

Значения функции:
\(
f(0) = 7^{0^2 — 2 \cdot 0} = 7^0 = 1
\)
\(
f(1) = 7^{1^2 — 2 \cdot 1} = 7^{-1} = \frac{1}{7}
\)
\(
f(2) = 7^{2^2 — 2 \cdot 2} = 7^0 = 1
\)

Ответ: \( 1; \frac{1}{7} \).

4) \( f(x) = 2^x + 2^{-x} \), \([-1; 1]\);
\(
f'(x) = 2^x \cdot \ln 2 — 2^{-x} \cdot \ln 2
\)
\(
\ln 2 \cdot (2^x — 2^{-x}) = 0
\)
\(
(2^x + 1)(2^x — 1) = 0
\)
\(
x = 0
\)

Значения функции:
\(
f(-1) = 2^{-1} + 2^{1} = \frac{1}{2} + 2 = 2.5
\)
\(
f(0) = 2^0 + 2^0 = 1 + 1 = 2
\)
\(
f(1) = 2^{1} + 2^{-1} = 2 + \frac{1}{2} = 2.5
\)

Ответ: \( 2.5; 2 \).

\(
\text{Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:}
\)

1) \( f(x) = e^x + x \), \((-1; 1)\);
\(
f'(x) = e^x + 1
\)
Так как \( e^x > 0 \), то \( f'(x) = e^x + 1 \geq 0 \).
Следовательно, функция возрастает на данном промежутке.

Значения функции на концах промежутка:
\(
f(-1) = e^{-1} — 1 = -1
\)
\(
f(1) = e^1 + 1 = e + 1
\)

Ответ: \( e + 1; -1 \).

2) \( f(x) = x^2 e^{2x} \), \((-2; 1)\);
Найдём производную функции:
\(
f'(x) = 2x \cdot e^{2x} + x^2 \cdot 2e^{2x}
\)
\(
f'(x) = 2e^{2x} \cdot x(1 + x)
\)
Исследуем знак производной:
\(
f'(x) = 2e^{2x} \cdot x(1 + x) \geq 0
\)
Производная равна нулю, если \( x = -1 \) или \( x = 0 \).
На основе анализа знака производной, функция убывает на промежутке \( (-2; -1) \), возрастает на промежутке \( (-1; 1) \).

Значения функции на концах и в критических точках:
\(
f(-2) = (-2)^2 \cdot e^{-4} = 4e^{-4}
\)
\(
f(0) = 0^2 \cdot e^0 = 0
\)
\(
f(-1) = (-1)^2 \cdot e^{-2} = e^{-2}
\)
\(
f(1) = 1^2 \cdot e^{2} = e^3
\)

Ответ: \( e^3; 0 \).

3) \( f(x) = 7^{x^2 — 2x} \), \((0; 2)\);
Найдём производную функции:
\(
f'(x) = (2x — 2) \cdot 7^{x^2 — 2x} \cdot \ln 7
\)
Производная равна нулю, если:
\(
(2x — 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\)

Значения функции на концах и в критической точке:
\(
f(0) = 7^{0^2 — 2 \cdot 0} = 7^0 = 1
\)
\(
f(1) = 7^{1^2 — 2 \cdot 1} = 7^{-1} = \frac{1}{7}
\)
\(
f(2) = 7^{2^2 — 2 \cdot 2} = 7^0 = 1
\)

Ответ: \( 1; \frac{1}{7} \).

4) \( f(x) = 2^x + 2^{-x} \), \((-1; 1)\);
Найдём производную функции:
\(
f'(x) = 2^x \cdot \ln 2 — 2^{-x} \cdot \ln 2
\)
Производная равна нулю, если:
\(
\ln 2 \cdot (2^x — 2^{-x}) = 0
\)
Рассмотрим уравнение:
\(
(2^x + 1)(2^x — 1) = 0
\)
Решение: \( x = 0 \).

Значения функции на концах и в критической точке:
\(
f(-1) = 2^{-1} + 2^{1} = \frac{1}{2} + 2 = 2.5
\)
\(
f(0) = 2^0 + 2^0 = 1 + 1 = 2
\)
\(
f(1) = 2^{1} + 2^{-1} = 2 + \frac{1}{2} = 2.5
\)

Ответ: \( 2.5; 2 \).