ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите производную функции для каждого из следующих выражений:

\(
\begin{cases}
1) \quad y = e^{-2x}; \\
2) \quad y = x^6 e^x; \\
3) \quad y = e^x \cos x; \\
4) \quad y = \frac{x + 1}{e^x}; \\
5) \quad y = 6^x; \\
6) \quad y = 3^{4x + 1}; \\
7) \quad y = 10^{-x}; \\
8) \quad y = \frac{5^x + 2}{5^x — 1}; \\
9) \quad y = 0.7^{\cot x}.
\end{cases}
\)

1)
\( y = e^{-2x}; \quad y’ = -2 e^{-2x}; \)

2)
\( y = x^6 e^x; \quad y’ = 6 x^5 e^x + x^6 e^x; \)
\( y’ = x^5 e^x (6 + x); \)

3)
\( y = e^x \cos x; \)
\( y’ = e^x \cos x — e^x \sin x; \)
\( y’ = e^x \cdot (\cos x — \sin x); \)

4)
\( y = \frac{x + 1}{e^x}; \)
\( y’ = \frac{e^x — (x + 1) e^x}{e^{2x}} = \frac{e^x — (x + 1) e^x}{e^{2x}}; \)
\( y’ = \frac{-x e^x}{e^{2x}} = — \frac{x}{e^x}; \)

5)
\( y = 6^x; \quad y’ = 6^x \ln 6; \)

6)
\( y = 3^{4x+1}; \quad y’ = 4 \cdot 3^{4x+1} \cdot \ln 3; \)

7)
\( y = 10^{-x}; \quad y’ = -10^{-x} \cdot \ln 10; \)

8)
\( y = \frac{5^x + 2}{5^x — 1}; \)
\(
y’ = \frac{5^x \ln 5 (5^x — 1) — 5^x \ln 5 (5^x + 2)}{(5^x — 1)^2};
\)
\(
y’ = \frac{5^x \ln 5 \cdot (-3)}{(5^x — 1)^2} = — \frac{3 \cdot 5^x \ln 5}{(5^x — 1)^2};
\)

9)
\( y = 0.7^{\cot x}; \)
\(
y’ = -\frac{1}{\sin^2 x} \cdot 0.7^{\cot x} \cdot \ln 0.7;
\)

1)
Функция:
\( y = e^{-2x} \)

Производная по правилу цепочки:
\( y’ = e^{-2x} \cdot \frac{d}{dx}(-2x) = e^{-2x} \cdot (-2) = -2 e^{-2x} \)

2)
Функция:
\( y = x^6 e^x \)

Производная по правилу произведения:
\(
y’ = \frac{d}{dx}(x^6) \cdot e^x + x^6 \cdot \frac{d}{dx}(e^x) = 6x^5 e^x + x^6 e^x
\)

Можно вынести общий множитель:
\(
y’ = x^5 e^x (6 + x)
\)

3)
Функция:
\( y = e^x \cos x \)

Производная по правилу произведения:
\(
y’ = \frac{d}{dx}(e^x) \cdot \cos x + e^x \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) = e^x \cos x — e^x \sin x
\)

Вынесем общий множитель:
\(
y’ = e^x (\cos x — \sin x)
\)

4)
Функция:
\( y = \frac{x + 1}{e^x} \)

Можно переписать как:
\( y = (x + 1) e^{-x} \)

Производная по правилу произведения:
\(
y’ = \frac{d}{dx}(x + 1) \cdot e^{-x} + (x + 1) \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x}) = 1 \cdot e^{-x} + (x + 1)(-e^{-x}) =
\)
\(
= e^{-x} — (x + 1) e^{-x}
\)

Упростим:
\(
y’ = e^{-x} — x e^{-x} — e^{-x} = — x e^{-x}
\)

Или в исходном виде:
\(
y’ = — \frac{x}{e^x}
\)

5)
Функция:
\( y = 6^x \)

Производная по формуле для производной степенной функции с основанием \(a\):
\(
y’ = 6^x \ln 6
\)

6)
Функция:
\( y = 3^{4x + 1} \)

Производная по правилу цепочки:
\(
y’ = 3^{4x + 1} \cdot \ln 3 \cdot \frac{d}{dx}(4x + 1) = 3^{4x + 1} \ln 3 \cdot 4 = 4 \cdot 3^{4x + 1} \ln 3
\)

7)
Функция:
\( y = 10^{-x} \)

Производная по правилу цепочки:
\(
y’ = 10^{-x} \ln 10 \cdot \frac{d}{dx}(-x) = 10^{-x} \ln 10 \cdot (-1) = -10^{-x} \ln 10
\)

8)
Функция:
\(
y = \frac{5^x + 2}{5^x — 1}
\)

Производная по правилу частного:
\(
y’ = \frac{(5^x + 2)’ \cdot (5^x — 1) — (5^x + 2) \cdot (5^x — 1)’}{(5^x — 1)^2}
\)

Вычислим производные числителя и знаменателя:
\(
(5^x + 2)’ = 5^x \ln 5, \quad (5^x — 1)’ = 5^x \ln 5
\)

Подставим:
\(
y’ = \frac{5^x \ln 5 \cdot (5^x — 1) — (5^x + 2) \cdot 5^x \ln 5}{(5^x — 1)^2}
\)

Раскроем скобки в числителе:
\(
y’ = \frac{5^x \ln 5 \cdot 5^x — 5^x \ln 5 — 5^x \ln 5 \cdot 5^x — 2 \cdot 5^x \ln 5}{(5^x — 1)^2}
\)

Сократим и упростим:
\(
y’ = \frac{5^x \ln 5 \cdot 5^x — 5^x \ln 5 — 5^x \ln 5 \cdot 5^x — 2 \cdot 5^x \ln 5}{(5^x — 1)^2} = \frac{-3 \cdot 5^x \ln 5}{(5^x — 1)^2}
\)

9)
Функция:
\(
y = 0.7^{\cot x}
\)

Производная по правилу цепочки:
\(
y’ = 0.7^{\cot x} \ln 0.7 \cdot \frac{d}{dx}(\cot x)
\)

Производная \(\cot x\) равна:
\(
\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}
\)

Подставим:
\(
y’ = 0.7^{\cot x} \ln 0.7 \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = -\frac{1}{\sin^2 x} \cdot 0.7^{\cot x} \cdot \ln 0.7
\)