ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:}
\)

1) \( f(x) = (x-1)e^{-x} \) на промежутке \([1; 3]\);

2) \( f(x) = 5^{(x^2 + 2x)} \) на промежутке \([-2; 1]\).

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:

1) \(f(x) = (x-1)e^{-x}, [1; 3]\);
\(f'(x) = 1 \cdot e^{-x} — (x-1) \cdot e^{-x} \geq 0\);
\(e^{-x} \cdot (1-x+1) \geq 0\);
\(2-x \geq 0\);
\(x \leq 2\);

Значения функции:
\(f(1) = (1-1) \cdot e^{-1} = 0\);
\(f(2) = (2-1) \cdot e^{-2} = \frac{1}{e^2}\);
\(f(3) = (3-1) \cdot e^{-3} = \frac{2}{e^3}\);

Ответ: \(\frac{1}{e^2}; 0\).

2) \(f(x) = 5^{x^2+2x}, [-2; 1]\);
\(f'(x) = (2x + 2) \cdot 5^{x^2+2x} \cdot \ln 5 \geq 0\);
\(2x + 2 \geq 0\);
\(x+1 \geq 0\);
\(x \geq -1\);

Значения функции:
\(f(-2) = 5^{(-2)^2+2 \cdot (-2)} = 5^0 = 1\);
\(f(-1) = 5^{(-1)^2+2 \cdot (-1)} = 5^{-1} = \frac{1}{5}\);
\(f(1) = 5^{1^2+2 \cdot 1} = 5^3 = 125\);

Ответ: \(125; \frac{1}{5}\).

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = (x-1)e^{-x}\) на промежутке \((1; 3)\).

1. Найдем производную функции:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( (x-1)e^{-x} \right) = (x-1) \cdot \frac{d}{dx} \left( e^{-x} \right) + e^{-x} \cdot \frac{d}{dx}(x-1).
\)
Производная \(e^{-x}\) равна \(-e^{-x}\), а производная \(x-1\) равна \(1\). Тогда:
\(
f'(x) = (x-1)(-e^{-x}) + e^{-x} \cdot 1 = -e^{-x}(x-1) + e^{-x} = e^{-x}(1-x+1).
\)
Упростим выражение:
\(
f'(x) = e^{-x}(2-x).
\)

2. Найдем критические точки, решив уравнение \(f'(x) = 0\):
\(
e^{-x}(2-x) = 0.
\)
Так как \(e^{-x} > 0\) для любых \(x\), то:
\(
2-x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2.
\)

3. Проверим значение производной на границах промежутка \((1; 3)\) и в критической точке \(x = 2\). Вычислим значения функции:
\(
f(1) = (1-1)e^{-1} = 0,
\)
\(
f(2) = (2-1)e^{-2} = \frac{1}{e^2},
\)
\(
f(3) = (3-1)e^{-3} = \frac{2}{e^3}.
\)

4. Сравним значения:
\(
f(1) = 0, \quad f(2) = \frac{1}{e^2}, \quad f(3) = \frac{2}{e^3}.
\)
Наибольшее значение функции достигается при \(x = 2\), а наименьшее при \(x = 1\).

Ответ: \( \max f(x) = \frac{1}{e^2}, \min f(x) = 0 \).

Задача 2

Найти наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = 5^{x^2+2x}\) на промежутке \((-2; 1)\).

1. Найдем производную функции:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 5^{x^2+2x} \right).
\)
Так как производная экспоненциальной функции \(a^{g(x)}\) равна \(a^{g(x)} \cdot \ln a \cdot g'(x)\), то:
\(
f'(x) = 5^{x^2+2x} \cdot \ln 5 \cdot \frac{d}{dx}(x^2+2x).
\)
Вычислим производную \(x^2+2x\):
\(
\frac{d}{dx}(x^2+2x) = 2x+2.
\)
Тогда:
\(
f'(x) = 5^{x^2+2x} \cdot \ln 5 \cdot (2x+2).
\)

2. Найдем критические точки, решив уравнение \(f'(x) = 0\):
\(
5^{x^2+2x} \cdot \ln 5 \cdot (2x+2) = 0.
\)
Так как \(5^{x^2+2x} > 0\) и \(\ln 5 > 0\), то:
\(
2x+2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1.
\)

3. Проверим значение производной на границах промежутка \((-2; 1)\) и в критической точке \(x = -1\). Вычислим значения функции:
\(
f(-2) = 5^{(-2)^2+2 \cdot (-2)} = 5^0 = 1,
\)
\(
f(-1) = 5^{(-1)^2+2 \cdot (-1)} = 5^{-1} = \frac{1}{5},
\)
\(
f(1) = 5^{1^2+2 \cdot 1} = 5^3 = 125.
\)

4. Сравним значения:
\(
f(-2) = 1, \quad f(-1) = \frac{1}{5}, \quad f(1) = 125.
\)
Наибольшее значение функции достигается при \(x = 1\), а наименьшее при \(x = -1\).

Ответ: \( \max f(x) = 125, \min f(x) = \frac{1}{5} \).