ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Исследуйте функцию и постройте её график:}
\)

1. \( f(x) = xe^x \);
2. \( f(x) = xe^{-\frac{x}{2}} \);
3. \( f(x) = e^{-x^2} \);
4. \( f(x) = x^2 — 2\ln x \);
5. \( f(x) = \ln(9 — x^2) \).

Исследовать функцию и построить график:
1) \( f(x) = x e^x \);
\( D(x) = (-\infty; +\infty) \);
\( f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x \geq 0 \);
\( e^x \cdot (1 + x) \geq 0 \);
\( x \geq -1 \), \( x_{\text{min}} = -1 \);
Возрастает на \((-1; +\infty)\);
Убывает на \((-\infty; -1)\);

\(
y_{\text{min}} = -1 \cdot e^{-1} = -\frac{1}{e};
\)

\(
\lim_{x \to -\infty} (x e^x) = -0;
\)

\( f(0) = 0 \cdot e^0 = 0 \);
\( f(1) = \frac{1}{e} \);

График функции:

2) \( f(x) = x e^{-\frac{x}{2}} \);
\( D(x) = (-\infty; +\infty) \);

\(
f'(x) = 1 \cdot e^{-\frac{x}{2}} — x \cdot \frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}} \geq 0;
\)

\(
1 — \frac{x}{2} \geq 0;
\)

\(
x \leq 2, \quad x_{\text{max}} = 2;
\)

Возрастает на \((- \infty; 2]\);
Убывает на \((2; +\infty)\);

\(
y_{\text{max}} = 2 \cdot e^{-\frac{2}{2}} = \frac{2}{e};
\)

\(
\lim_{x \to +\infty} \left( x e^{-\frac{x}{2}} \right) = +0;
\)

\(
f(0) = 0 \cdot e^{-\frac{0}{2}} = 0;
\)

\(
f(-2) = -2 \cdot e^{\frac{2}{2}} = -2e;
\)

\(
E(x) = (-\infty; +\infty);
\)

График функции:

3) \( f(x) = e^{-x^2} \);
\( D(x) = (-\infty; +\infty) \);

\(
f'(x) = -2x \cdot e^{-x^2} \geq 0;
\)

\(
x \leq 0, \quad x_{\text{max}} = 0;
\)

Возрастает на \((- \infty; 0]\);
Убывает на \((0; +\infty)\);

\(
y_{\text{max}} = e^{0^2} = 1;
\)

\(
\lim_{x \to \pm\infty} \left( e^{-x^2} \right) = +0;
\)

\(
f(-x) = e^{-x^2} = f(x);
\)

Функция чётная;

\(
f(1) = e^{-1^2} = \frac{1}{e};
\)

\(
f(2) = e^{-2^2} = \frac{1}{e^4};
\)

\(
E(y) = (0; 1];
\)

График функции:

4) \( f(x) = x^2 — 2 \ln x \);
\( D(x) = (0; +\infty) \);

\(
f'(x) = 2x — 2 \cdot \frac{1}{x} \geq 0;
\)

\(
2x^2 — 2 \geq 0;
\)

\(
(x + 1)(x — 1) \geq 0;
\)

\(
x \geq 0, \quad x_{\text{min}} = 1;
\)

Возрастает на \((1; +\infty)\);
Убывает на \((0; 1]\);

\(
y_{\text{min}} = 1^2 — 2 \ln 1 = 1;
\)

\(
f(e) = e^2 — 2 \ln e = e^2 — 2;
\)

\(
f(e^2) = e^4 — 2 \ln e^2 = e^4 — e;
\)

\(
E(y) = (1; +\infty);
\)

График функции:

5) \( f(x) = \ln(9 — x^2) \);
\( 9 — x^2 > 0 \);

\(
(x + 3)(x — 3) < 0;
\)

\(
-3 < x < 3;
\)

\(
D(x) = (-3; 3);
\)

\(
f'(x) = -2x \cdot \frac{1}{9 — x^2} \geq 0;
\)

\(
x \leq 0, \quad x_{\text{max}} = 0;
\)

Возрастает на \((-3; 0]\);
Убывает на \((0; 3)\);

\(
y_{\text{max}} = \ln(9 — 0^2) = \ln 9;
\)

\(
f(-x) = \ln(9 — x^2) = f(x);
\)

Функция чётная;

\(
f(1) = \ln(9 — 1^2) = \ln 8;
\)

\(
f(2) = \ln(9 — 2^2) = \ln 5;
\)

\(
E(y) = (-\infty; \ln 9);
\)

График функции:

Исследовать функцию и построить график:
1) \( f(x) = x e^x \).

Определение области определения функции:
\(
D(x) = (-\infty; +\infty).
\)

Для нахождения критических точек вычислим производную функции:
\(
f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1 + x).
\)

Анализируя знак производной, получаем:
\(
e^x(1 + x) \geq 0.
\)
Поскольку \( e^x > 0 \) для всех \( x \), знак производной зависит от выражения \( (1 + x) \). Таким образом, мы имеем:
\(
1 + x \geq 0 — x \geq -1.
\)

Критическая точка:
\(
x_{\text{min}} = -1.
\)

Исследуем поведение функции:
— Функция возрастает на интервале \((-1; +\infty)\);
— Функция убывает на интервале \((-\infty; -1)\).

Теперь найдем значение функции в критической точке:
\(
y_{\text{min}} = f(-1) = -1 \cdot e^{-1} = -\frac{1}{e}.
\)

Также исследуем поведение функции на границах:
\(
\lim_{x \to -\infty} (x e^x) = -0.
\)

Вычислим значения функции в некоторых точках:
\(
f(0) = 0 \cdot e^0 = 0,
\)
\(
f(1) = 1 \cdot e^1 = e.
\)

График функции

2) Исследовать функцию и построить график:
\( f(x) = x e^{-\frac{x}{2}} \).

Определение области определения функции:
\(
D(x) = (-\infty; +\infty).
\)

Для нахождения критических точек вычислим производную функции:
\(
f'(x) = 1 \cdot e^{-\frac{x}{2}} — x \cdot \frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}}.
\)

Упрощаем производную:
\(
f'(x) = e^{-\frac{x}{2}} \left( 1 — \frac{x}{2} \right).
\)

Анализируем знак производной:
\(
e^{-\frac{x}{2}} > 0 \quad \text{для всех } x,
\)
поэтому знак производной зависит от выражения \( (1 — \frac{x}{2}) \):
\(
1 — \frac{x}{2} \geq 0.
\)

Решая неравенство, получаем:
\(
x \leq 2.
\)
Таким образом, критическая точка:
\(
x_{\text{max}} = 2.
\)

Исследуем поведение функции:
— Функция возрастает на интервале \((- \infty; 2]\);
— Функция убывает на интервале \((2; +\infty)\).

Теперь найдем значение функции в критической точке:
\(
y_{\text{max}} = f(2) = 2 e^{-\frac{2}{2}} = 2 e^{-1} = \frac{2}{e}.
\)

Также исследуем поведение функции на границах:
\(
\lim_{x \to +\infty} \left( x e^{-\frac{x}{2}} \right) = +0.
\)

Вычислим значения функции в некоторых точках:
\(
f(0) = 0 \cdot e^{-\frac{0}{2}} = 0,
\)
\(
f(-2) = -2 \cdot e^{\frac{2}{2}} = -2e.
\)

Область значений функции:
\(
E(x) = (-\infty; +\infty).
\)

График функции:

3) Исследовать функцию и построить график:
\( f(x) = e^{-x^2} \).

Определение области определения функции:
\(
D(x) = (-\infty; +\infty).
\)

Для нахождения критических точек вычислим производную функции:
\(
f'(x) = -2x \cdot e^{-x^2}.
\)

Анализируем знак производной:
\(
-2x \cdot e^{-x^2} \geq 0.
\)
Поскольку \( e^{-x^2} > 0 \) для всех \( x \), знак производной зависит от выражения \( -2x \):
\(
-2x \geq 0 — x \leq 0.
\)
Таким образом, критическая точка:
\(
x_{\text{max}} = 0.
\)

Исследуем поведение функции:
— Функция возрастает на интервале \((- \infty; 0]\);
— Функция убывает на интервале \((0; +\infty)\).

Теперь найдем значение функции в критической точке:
\(
y_{\text{max}} = f(0) = e^{0^2} = 1.
\)

Также исследуем поведение функции на границах:
\(
\lim_{x \to \pm\infty} \left( e^{-x^2} \right) = 0.
\)

Теперь проверим четность функции:
\(
f(-x) = e^{-(-x)^2} = e^{-x^2} = f(x).
\)
Это подтверждает, что функция четная.

Вычислим значения функции в некоторых точках:
\(
f(1) = e^{-1^2} = e^{-1} = \frac{1}{e},
\)
\(
f(2) = e^{-2^2} = e^{-4} = \frac{1}{e^4}.
\)

Определим множество значений функции:
\(
E(y) = (0; 1).
\)

График функции:

4) Исследовать функцию и построить график:
\( f(x) = x^2 — 2 \ln x \).

Определение области определения функции:
\(
D(x) = (0; +\infty).
\)

Для нахождения критических точек вычислим производную функции:
\(
f'(x) = 2x — 2 \cdot \frac{1}{x}.
\)

Упрощаем производную:
\(
f'(x) = 2x — \frac{2}{x}.
\)

Анализируем знак производной:
\(
f'(x) \geq 0 — 2x — \frac{2}{x} \geq 0.
\)

Умножим неравенство на \( x \) (учитывая, что \( x > 0 \)):
\(
2x^2 — 2 \geq 0.
\)

Решим неравенство:
\(
2(x^2 — 1) \geq 0.
\)

Факторизуем:
\(
(x + 1)(x — 1) \geq 0.
\)

Решая это неравенство, получаем:
\(
x \geq 1.
\)
Таким образом, критическая точка:
\(
x_{\text{min}} = 1.
\)

Исследуем поведение функции:
— Функция возрастает на интервале \((1; +\infty)\);
— Функция убывает на интервале \((0; 1]\).

Теперь найдем значение функции в критической точке:
\(
y_{\text{min}} = f(1) = 1^2 — 2 \ln 1 = 1 — 0 = 1.
\)

Также вычислим значения функции в некоторых точках:
\(
f(e) = e^2 — 2 \ln e = e^2 — 2.
\)
\(
f(e^2) = e^4 — 2 \ln e^2 = e^4 — 2 \cdot 2 = e^4 — 4.
\)

Теперь определим диапазон значений функции:
\(
E(y) = (1; +\infty).
\)

График функции:

5) Исследовать функцию и построить график:
\( f(x) = \ln(9 — x^2) \).

Для определения области определения функции решим неравенство:
\(
9 — x^2 > 0.
\)
Это можно записать в виде:
\(
(x + 3)(x — 3) < 0.
\)
Решая это неравенство, находим:
\(
-3 < x < 3.
\)
Следовательно, область определения функции:
\(
D(x) = (-3; 3).
\)

Теперь найдем производную функции:
\(
f'(x) = -2x \cdot \frac{1}{9 — x^2}.
\)

Анализируем знак производной:
\(
f'(x) \geq 0 — -2x \cdot \frac{1}{9 — x^2} \geq 0.
\)
Поскольку \(\frac{1}{9 — x^2} > 0\) для \(x \in (-3; 3)\), знак производной зависит от \( -2x \):
\(
-2x \geq 0 — x \leq 0.
\)
Таким образом, критическая точка:
\(
x_{\text{max}} = 0.
\)

Исследуем поведение функции:
— Функция возрастает на интервале \((-3; 0]\);
— Функция убывает на интервале \((0; 3)\).

Теперь найдем значение функции в критической точке:
\(
y_{\text{max}} = f(0) = \ln(9 — 0^2) = \ln 9.
\)

Также проверим четность функции:
\(
f(-x) = \ln(9 — (-x)^2) = \ln(9 — x^2) = f(x).
\)
Это подтверждает, что функция четная.

Вычислим значения функции в некоторых точках:
\(
f(1) = \ln(9 — 1^2) = \ln(8),
\)
\(
f(2) = \ln(9 — 2^2) = \ln(5).
\)

Теперь определим множество значений функции:
\(
E(y) = (-\infty; \ln 9).
\)

График функции: