ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Исследуйте функцию и постройте её график:}
\)

1. \( f(x) = \frac{x}{e^x} \);
2. \( f(x) = xe^{-\frac{x^2}{2}} \);
3. \( f(x) = \log_2(x^2 + x) \).

1) \( f(x) = \frac{x}{e^x} \);
\( D(x) = (-\infty; +\infty) \);

\(
f'(x) = \frac{1 \cdot e^x — x \cdot e^x}{e^{2x}} \geq 0;
\)

\(
e^x \cdot (1 — x) \geq 0;
\)

\(
x \leq 1, \quad x_{\text{max}} = 1;
\)

Возрастает на \((- \infty; 1]\);
Убывает на \([1; +\infty)\);

\(
y_{\text{max}} = \frac{1}{e^1} = \frac{1}{e};
\)

\(
\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = +0;
\)

\(
f(0) = \frac{0}{e^0} = 0;
\)

\(
f(-1) = \frac{-1}{e^{-1}} = -e;
\)

\(
E(y) = (-\infty; \frac{1}{e}];
\)

\(
f(x) = xe^{-\frac{x^2}{2}};
\)
\( D(x) = (-\infty; +\infty); \)

\(
f'(x) = 1 \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} — x \cdot \frac{x}{2} \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} \geq 0;
\)

\(
1 — x^2 \geq 0;
\)

\(
(x + 1)(x — 1) \leq 0;
\)

\(
-1 \leq x \leq 1, \quad x_{\text{min}} = -1, \quad x_{\text{max}} = 1;
\)

Возрастает на \([-1; 1]\);
Убывает на \((-\infty; -1] \cup [1; +\infty)\);

\(
y_{\text{min}} = -1 \cdot e^{-\frac{(-1)^2}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{e}};
\)

\(
y_{\text{max}} = 1 \cdot e^{-\frac{1^2}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}};
\)

\(
\lim_{x \to -\infty} \left(x e^{-\frac{x^2}{2}}\right) = -0;
\)

\(
\lim_{x \to +\infty} \left(x e^{-\frac{x^2}{2}}\right) = +0;
\)

\(
f(-x) = -x e^{-\frac{x^2}{2}} = -f(x);
\)

Функция нечётная;

\(
f(0) = 0 \cdot e^{-\frac{0^2}{2}} = 0;
\)

\(
f(2) = 2 \cdot e^{-\frac{2^2}{2}} = \frac{2}{e^2};
\)

\(
E(y) = \left[-\frac{1}{\sqrt{e}}; \frac{1}{\sqrt{e}}\right];
\)

График функции:

\(
f(x) = \log_2(x^2 + x);
\)

\(
x^2 + x > 0;
\)

\(
x(x + 1) > 0;
\)

\(
x < -1, \quad x > 0;
\)

\(
D(x) = (-\infty; -1) \cup (0; +\infty);
\)

\(
f'(x) = (2x + 1) \cdot \frac{1}{(x^2 + x) \cdot \ln 2} \geq 0;
\)

\(
2x + 1 > 0;
\)

\(
x > -\frac{1}{2};
\)

Возрастает на \((0; +\infty)\);
Убывает на \((-\infty; -1)\);

\(
f(-2) = \log_2((-2)^2 + (-2)) = \log_2 2 = 1;
\)

\(
f(1) = \log_2(1^2 + 1) = \log_2 2 = 1;
\)

\(
E(y) = (-\infty; +\infty);
\)

График функции:

Исследуем функцию \( f(x) = \frac{x}{e^x} \) и её график.

1. Область определения функции:
\(
D(x) = (-\infty; +\infty)
\)

2. Находим производную функции:
\(
f'(x) = \frac{1 \cdot e^x — x \cdot e^x}{e^{2x}} = \frac{e^x(1 — x)}{e^{2x}} = \frac{1 — x}{e^x}
\)
Для определения знака производной решим неравенство:
\(
f'(x) \geq 0 \Rightarrow 1 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1
\)

3. Находим максимальную точку:
\(
x_{\text{max}} = 1
\)

4. Анализ монотонности:
— Функция возрастает на интервале:
\(
(-\infty; 1]
\)
— Функция убывает на интервале:
\(
[1; +\infty)
\)

5. Находим максимальное значение функции:
\(
y_{\text{max}} = f(1) = \frac{1}{e^1} = \frac{1}{e}
\)

6. Исследуем поведение функции при стремлении к бесконечности:
\(
\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0
\)

7. Находим значение функции в некоторых точках:
— При \( x = 0 \):
\(
f(0) = \frac{0}{e^0} = 0
\)
— При \( x = -1 \):
\(
f(-1) = \frac{-1}{e^{-1}} = -e
\)

8. Область значений функции:
\(
E(y) = (-\infty; \frac{1}{e}]
\)

Таким образом, мы исследовали функцию \( f(x) = \frac{x}{e^x} \), определили её область определения, максимальные и минимальные значения, а также поведение на бесконечности.

Исследуем функцию \( f(x) = xe^{-\frac{x^2}{2}} \).

1. Область определения функции:
\(
D(x) = (-\infty; +\infty)
\)

2. Находим производную функции:
\(
f'(x) = 1 \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} — x \cdot \frac{x}{2} \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = e^{-\frac{x^2}{2}} \left( 1 — \frac{x^2}{2} \right)
\)
Для определения знака производной решим неравенство:
\(
f'(x) \geq 0 \Rightarrow 1 — \frac{x^2}{2} \geq 0
\)
Умножаем на 2 (что не меняет знак):
\(
2 — x^2 \geq 0 \Rightarrow 2 \geq x^2
\)

3. Преобразуем неравенство:
\(
x^2 \leq 2
\)
Это неравенство можно записать как:
\(
-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}
\)

4. Находим критические точки:
Решая уравнение \( x^2 — 1 = 0 \), получаем:
\(
(x + 1)(x — 1) = 0
\)
Таким образом, критические точки:
\(
x = -1, \quad x = 1
\)

5. Анализ монотонности:
— Функция возрастает на интервале:
\(
(-1; 1)
\)
— Функция убывает на интервале:
\(
(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)
\)

6. Находим минимальное значение функции:
Для нахождения \( y_{\text{min}} \) подставим \( x = -1 \):
\(
y_{\text{min}} = f(-1) = -1 \cdot e^{-\frac{(-1)^2}{2}} = -1 \cdot e^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{e}}
\)

Таким образом, мы исследовали функцию \( f(x) = xe^{-\frac{x^2}{2}} \), определили её область определения, нашли производную, проанализировали монотонность и вычислили минимальное значение.

Исследуем функцию \( f(x) = xe^{-\frac{x^2}{2}} \) далее.

1. Находим максимальное значение функции:
\(
y_{\text{max}} = f(1) = 1 \cdot e^{-\frac{1^2}{2}} = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}
\)

2. Исследуем поведение функции при стремлении к бесконечности:
— При \( x \to -\infty \):
\(
\lim_{x \to -\infty} \left(x e^{-\frac{x^2}{2}}\right) = -0
\)
— При \( x \to +\infty \):
\(
\lim_{x \to +\infty} \left(x e^{-\frac{x^2}{2}}\right) = +0
\)

3. Проверяем, является ли функция нечётной:
\(
f(-x) = -x e^{-\frac{x^2}{2}} = -f(x)
\)
Это указывает на то, что функция является нечётной.

4. Находим значение функции в нуле:
\(
f(0) = 0 \cdot e^{-\frac{0^2}{2}} = 0
\)

5. Находим значение функции в точке \( x = 2 \):
\(
f(2) = 2 \cdot e^{-\frac{2^2}{2}} = 2 \cdot e^{-2} = \frac{2}{e^2}
\)

6. Определяем множество значений функции:
\(
E(y) = \left[-\frac{1}{\sqrt{e}}; \frac{1}{\sqrt{e}}\right]
\)

7. График функции показывает, что функция имеет максимум в точке \( x = 1 \) и симметрична относительно начала координат.

Исследуем функцию \( f(x) = \log_2(x^2 + x) \).

1. Область определения функции:
Для того чтобы логарифм был определён, необходимо, чтобы аргумент был положительным:
\(
x^2 + x > 0
\)
Это неравенство можно разложить на множители:
\(
x(x + 1) > 0
\)
Решим это неравенство. Оно выполняется, если:
\(
x < -1 \quad \text{или} \quad x > 0
\)
Таким образом, область определения функции:
\(
D(x) = (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)
\)

2. Находим производную функции:
Используя правило производной логарифма, получаем:
\(
f'(x) = \frac{(2x + 1)}{(x^2 + x) \ln 2}
\)
Для определения знака производной решим неравенство:
\(
f'(x) \geq 0 \Rightarrow 2x + 1 > 0
\)
Это неравенство приводит к:
\(
x > -\frac{1}{2}
\)

3. Анализ монотонности:
— Функция возрастает на интервале:
\(
(0; +\infty)
\)
— Функция убывает на интервале:
\(
(-\infty; -1)
\)

4. Находим значения функции в некоторых точках:
— При \( x = -2 \):
\(
f(-2) = \log_2((-2)^2 + (-2)) = \log_2(4 — 2) = \log_2(2) = 1
\)
— При \( x = 1 \):
\(
f(1) = \log_2(1^2 + 1) = \log_2(1 + 1) = \log_2(2) = 1
\)

5. Определяем множество значений функции:
Поскольку функция может принимать все значения в интервале от \( -\infty \) до \( +\infty \), имеем:
\(
E(y) = (-\infty; +\infty)
\)

6. График функции показывает поведение функции на определённых интервалах и её значения в ключевых точках.