Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
\(
\text{Найдите промежутки возрастания и убывания функции } f(x) = e^x — x — 1
\)
\(
\text{ и докажите, что для } x \in \mathbb{R} \text{ выполняется неравенство } e^x > 1 + x.
\)
\(
f(x) = e^x — x — 1;
\)
\(
f'(x) = e^x — 1 \geq 0;
\)
\(
e^x \geq 1;
\)
\(
x \geq 0;
\)
Докажем неравенство:
\(
f(0) = e^0 — 0 — 1 = 0;
\)
\(
f(x) = e^x — x — 1 \geq 0;
\)
\(
e^x \geq 1 + x;
\)
Ответ:
Возрастает на \([0; +\infty)\);
Убывает на \((-\infty; 0]\).
Найти промежутки возрастания и убывания данной функции:
\(
f(x) = e^x — x — 1
\)
Найдём производную функции:
\(
f'(x) = e^x — 1
\)
Производная положительна, если:
\(
f'(x) \geq 0 \quad \Rightarrow \quad e^x \geq 1
\)
Поскольку \(e^x > 0\) для всех \(x\), данное неравенство выполняется при:
\(
x \geq 0
\)
Таким образом, функция возрастает на промежутке \([0; +\infty)\).
Рассмотрим промежуток, где \(x < 0\). В этом случае \(f'(x) < 0\), следовательно, функция убывает на промежутке \((-\infty; 0]\).
Проверим значение функции в точке \(x = 0\):
\(
f(0) = e^0 — 0 — 1 = 0
\)
Для доказательства, что функция возрастает при \(x \geq 0\), рассмотрим следующее неравенство:
\(
f(x) = e^x — x — 1 \geq 0
\)
Преобразуем его:
\(
e^x \geq 1 + x
\)
Данное неравенство выполняется при \(x \geq 0\), что соответствует области возрастания функции.
Ответ:
Функция возрастает на \([0; +\infty)\),
убывает на \((-\infty; 0]\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.