ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите промежутки возрастания и убывания функции \( f(x) = \ln(1+x) — x \) и докажите, что при \( x > -1 \) выполняется неравенство \( \ln(1+x) < x \).

Найти промежутки возрастания и убывания данной функции:

\(
f(x) = \ln(1+x) — x;
\)

\(
f'(x) = \frac{1}{1+x} — 1 \geq 0;
\)

\(
1 — (1+x) \geq 0;
\)

\(
-x \geq 0, \quad 1+x > 0;
\)

\(
x \leq 0, \quad x > -1;
\)

Докажем неравенство:

\(
f(0) = \ln(1+0) — 0 = 0;
\)

\(
f(x) = \ln(1+x) — x \leq 0;
\)

\(
\ln(1+x) \leq x;
\)

Ответ: возрастает на \((-1; 0]\);
убывает на \([0; +\infty)\).

Найдем промежутки возрастания и убывания функции:

\(
f(x) = \ln(1+x) — x.
\)

Для этого сначала найдем производную функции \( f(x) \):

\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \ln(1+x) — x \right) = \frac{1}{1+x} — 1.
\)

Установим, при каких значениях \( x \) производная неотрицательна:

\(
f'(x) \geq 0 — \frac{1}{1+x} — 1 \geq 0.
\)

Перепишем неравенство:

\(
\frac{1 — (1+x)}{1+x} \geq 0.
\)

Упрощаем его:

\(
\frac{-x}{1+x} \geq 0.
\)

Это неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Рассмотрим два случая:

1. \( -x \geq 0 \) (то есть \( x \leq 0 \)) и \( 1+x > 0 \) (то есть \( x > -1 \)).
2. \( -x < 0 \) (то есть \( x > 0 \)) не может выполняться одновременно с \( 1+x > 0 \).

Таким образом, из первого случая мы получаем:

\(
x \leq 0, \quad x > -1.
\)

Следовательно, функция возрастает на интервале \( (-1, 0] \) и убывает на интервале \( [0, +\infty) \).

Теперь докажем неравенство:

Вычислим значение функции в точке \( x = 0 \):

\(
f(0) = \ln(1+0) — 0 = 0.
\)

Теперь покажем, что для всех \( x > -1 \):

\(
f(x) = \ln(1+x) — x \leq 0.
\)

Это неравенство эквивалентно:

\(
\ln(1+x) \leq x.
\)

Мы уже установили, что функция \( f(x) \) убывает на интервале \( [0, +\infty) \), и поскольку \( f(0) = 0 \), то для всех \( x > 0 \):

\(
f(x) < f(0) = 0.
\)

Таким образом, мы доказали, что:

\(
\ln(1+x) < x \quad \text{для } x > -1.
\)

Ответ: функция возрастает на интервале \( (-1, 0] \); убывает на интервале \( [0, +\infty) \).