ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{При каких значениях } a \text{ функция } y = 4 \ln x — ax — 7 \text{ является возрастающей?}
\)

Дана функция:

\(
y = 4 \ln x — ax — 7;
\)

1) Область определения:
\(
x > 0;
\)

2) Функция возрастает:

\(
y'(x) = 4 \cdot \frac{1}{x} — a \geq 0;
\)

\(
4 — ax \geq 0;
\)

\(
a \leq 0;
\)

Ответ:
\(
a \leq 0.
\)

Дана функция:

\(
y = 4 \ln x — ax — 7;
\)

1) Область определения функции:

Область определения функции \( y \) определяется значением переменной \( x \). Поскольку логарифм определён только для положительных значений, область определения будет:

\(
x > 0;
\)

2) Для того чтобы функция возрастала, необходимо, чтобы её производная была неотрицательной. Найдём производную функции:

\(
y'(x) = \frac{d}{dx}(4 \ln x — ax — 7).
\)

Используя правила дифференцирования, получаем:

\(
y'(x) = 4 \cdot \frac{1}{x} — a.
\)

Для того чтобы функция была возрастающей, необходимо, чтобы производная была неотрицательной:

\(
y'(x) \geq 0.
\)

Подставим выражение для производной:

\(
4 \cdot \frac{1}{x} — a \geq 0.
\)

Перепишем это неравенство:

\(
4 \geq ax.
\)

Теперь выразим \( a \):

\(
a \leq \frac{4}{x}.
\)

Так как \( x > 0 \), это неравенство будет выполняться для всех положительных значений \( x \). Таким образом, чтобы функция возрастала для всех \( x > 0 \), необходимо, чтобы \( a \) было не больше нуля:

\(
a \leq 0.
\)

Ответ:

\(
a \leq 0.
\)