ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найти значения параметра \( m \), при которых функция

\(
f(x) = 2e^x — me^{-x} + (1 + 2m)x — 3
\)

является возрастающей.

Дана функция:

\(
y = 2e^x — me^{-x} + (1 + 2m)x — 3;
\)

Функция возрастает:

\(
y'(x) = 2e^x + me^{-x} + (1 + 2m) \geq 0;
\)

\(
2e^{2x} + (1 + 2m)e^x + m \geq 0;
\)

\(
D = (1 + 2m)^2 — 4 \cdot 2 \cdot m;
\)

\(
D = 1 + 4m + 4m^2 — 8m;
\)

\(
D = 1 — 4m + 4m^2 = (1 — 2m)^2,
\)

тогда:

\(
e^{x_1} = \frac{-(1 + 2m) — (1 — 2m)}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2};
\)

\(
e^{x_2} = \frac{-(1 + 2m) + (1 — 2m)}{2 \cdot 2} = -m;
\)

\(
-m \leq 0, \, m \geq 0;
\)

Ответ:
\(
m \geq 0.
\)

Дана функция:

\(
y = 2e^x — me^{-x} + (1 + 2m)x — 3;
\)

Чтобы определить, при каких значениях параметра \( m \) функция возрастает, найдем производную функции:

\(
y'(x) = 2e^x + me^{-x} + (1 + 2m).
\)

Функция будет возрастать, если производная неотрицательна:

\(
y'(x) \geq 0 — 2e^x + me^{-x} + (1 + 2m) \geq 0.
\)

Умножим всё уравнение на \( e^x \) (поскольку \( e^x > 0 \) для всех \( x \)):

\(
2e^{2x} + (1 + 2m)e^x + m \geq 0.
\)

Это неравенство представляет собой квадратичную функцию относительно \( e^x \). Обозначим \( z = e^x \), тогда неравенство примет вид:

\(
2z^2 + (1 + 2m)z + m \geq 0.
\)

Для того чтобы данная квадратичная функция была неотрицательной для всех \( z \geq 0 \), её дискриминант должен быть не положительным:

\(
D = (1 + 2m)^2 — 4 \cdot 2 \cdot m.
\)

Вычислим дискриминант:

\(
D = (1 + 2m)^2 — 8m.
\)

Раскроем скобки:

\(
D = 1 + 4m + 4m^2 — 8m = 1 — 4m + 4m^2.
\)

Теперь упростим дискриминант:

\(
D = 4m^2 — 4m + 1 = (1 — 2m)^2.
\)

Для того чтобы функция была неотрицательной, требуется, чтобы дискриминант был не положительным:

\(
(1 — 2m)^2 \leq 0.
\)

Это возможно только в случае, если:

\(
1 — 2m = 0 — m = \frac{1}{2}.
\)

Теперь определим корни уравнения для \( z \):

\(
e^{x_1} = \frac{-(1 + 2m) — (1 — 2m)}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2},
\)

\(
e^{x_2} = \frac{-(1 + 2m) + (1 — 2m)}{2 \cdot 2} = -m.
\)

Поскольку \( e^{x_1} \) и \( e^{x_2} \) должны быть неотрицательными, получаем условия:

\(
-m \leq 0 — m \geq 0.
\)

Таким образом, функция будет возрастать при условии:

\(
m \geq 0.
\)

Ответ:

\(
m \geq 0.
\)