ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{При каких значениях параметра } a \text{ функция }
\)
\(
f(x) = 1 — 2e^x + (1-a)e^{-x} — e^{2x} + (a-1)x \text{ является убывающей?}
\)

Дана функция:

\(
y = 1 — 2e^x + (1 — a)e^{-x} — e^{2x} + (a — 1)x;
\)

Функция убывает:

\(
y'(x) = -2e^x — (1 — a)e^{-x} — 2e^{2x} + (a — 1) \leq 0;
\)

\(
2e^{3x} + 2e^{2x} + (1 — a) — (a — 1)e^x \geq 0;
\)

\(
2e^{2x} \cdot (e^x + 1) — (a — 1)(e^x + 1) \geq 0;
\)

\(
(e^x + 1)(2e^{2x} — a + 1) \geq 0;
\)

\(
2e^{2x} — a + 1 \geq 0;
\)

\(
a — 1 \leq 2e^{2x};
\)

\(
a \leq 1.
\)

Ответ:
\(
a \leq 1.
\)

Дана функция:

\(
y = 1 — 2e^x + (1 — a)e^{-x} — e^{2x} + (a — 1)x;
\)

Чтобы определить, при каких значениях параметра \( a \) функция убывает, необходимо найти производную функции \( y \) и установить, что она не превосходит нуля:

\(
y'(x) = -2e^x — (1 — a)e^{-x} — 2e^{2x} + (a — 1) \leq 0;
\)

Перепишем неравенство:

\(
-2e^x — (1 — a)e^{-x} — 2e^{2x} + (a — 1) \leq 0.
\)

Умножим все части неравенства на \(-1\) (при этом знак неравенства изменится):

\(
2e^x + (1 — a)e^{-x} + 2e^{2x} — (a — 1) \geq 0.
\)

Теперь соберем все экспоненты:

\(
2e^{3x} + 2e^{2x} + (1 — a) — (a — 1)e^x \geq 0.
\)

Факторизуем выражение:

\(
2e^{2x} \cdot (e^x + 1) — (a — 1)(e^x + 1) \geq 0.
\)

Теперь вынесем общий множитель:

\(
(e^x + 1)(2e^{2x} — a + 1) \geq 0.
\)

Для того чтобы это неравенство выполнялось, необходимо, чтобы оба множителя были неотрицательными или оба отрицательными. Рассмотрим второй множитель:

\(
2e^{2x} — a + 1 \geq 0.
\)

Перепишем это неравенство:

\(
2e^{2x} \geq a — 1.
\)

Таким образом, мы получаем:

\(
a — 1 \leq 2e^{2x}.
\)

Так как \( e^{2x} \) всегда положительно, мы можем заключить, что для всех \( x \) необходимо:

\(
a \leq 1.
\)

Ответ:

\(
a \leq 1.
\)