ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите производную функции для каждого из следующих выражений:

\(
\begin{cases}
1) \quad y = e^{-2x}; \\
2) \quad y = x^6 e^x; \\
3) \quad y = e^x \cos x; \\
4) \quad y = \frac{x + 1}{e^x}; \\
5) \quad y = 6^x; \\
6) \quad y = 3^{4x + 1}; \\
7) \quad y = 10^{-x}; \\
8) \quad y = \frac{5^x + 2}{5^x — 1}; \\
9) \quad y = 0.7^{\cot x}.
\end{cases}
\)

1) \( y = \log_9 x; \)
\(
y’ = \frac{1}{x \ln 9};
\)

2) \( y = \ln 2x; \)
\(
y’ = 2 \cdot \frac{1}{2x} = \frac{1}{x};
\)

3) \( y = \lg(x^2 — 4); \)
\(
y’ = 2x \cdot \frac{1}{(x^2 — 4) \cdot \ln 10};
\)

4) \( y = \ln^2 x; \)
\(
y’ = \frac{1}{x} \cdot \ln x + \ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln x}{x};
\)

5) \( y = \ln \sin x; \)
\(
y’ = \cos x \cdot \frac{1}{\sin x} = \cot x;
\)

6) \( y = \frac{\ln x}{x^3}; \)
\(
y’ = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^3 — \ln x \cdot 3x^2}{x^6} = \frac{1 — 3 \ln x}{x^4};
\)

7) \( y = \log_{0.2}(2x^2 + x — 4); \)
\(
y’ = (2 \cdot 2x + 1) \cdot \frac{1}{(2x^2 + x — 4) \cdot \ln 0.2};
\)
\(
y’ = \frac{4x + 1}{(2x^2 + x — 4) \cdot \ln 0.2};
\)

8) \( y = \ln(1 — 0.2x); \)
\(
y’ = -0.2 \cdot \frac{1}{1 — 0.2x} = \frac{1}{x — 5};
\)

9) \( y = x^5 \ln x; \)
\(
y’ = 5x^4 \cdot \ln x + x^5 \cdot \frac{1}{x};
\)
\(
y’ = x^4 \cdot (5 \ln x + 1);
\)

1) Рассмотрим функцию
\(
y = \log_9 x.
\)
Производная этой функции вычисляется по формуле:
\(
y’ = \frac{1}{x \ln 9}.
\)
Это следует из того, что производная логарифма с основанием \(a\) равна \(\frac{1}{x \ln a}\).

2) Для функции
\(
y = \ln(2x)
\)
используем правило производной:
\(
y’ = \frac{d}{dx}(\ln(2x)) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}.
\)
Здесь мы использовали правило цепочки, где производная внутренней функции \(2x\) равна \(2\).

3) Для функции
\(
y = \lg(x^2 — 4)
\)
применяем производную логарифма:
\(
y’ = \frac{2x}{(x^2 — 4) \ln 10}.
\)
В этом случае мы используем правило цепочки и знаем, что производная \(\lg u = \frac{1}{u \ln 10}\), где \(u = x^2 — 4\).

4) Рассмотрим функцию
\(
y = \ln^2 x.
\)
Используя правило производной для сложной функции, получаем:
\(
y’ = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln x}{x}.
\)
Здесь мы применили правило произведения и правило цепочки.

5) Для функции
\(
y = \ln(\sin x)
\)
применяем производную:
\(
y’ = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x.
\)
Мы используем правило цепочки, где производная внутренней функции \(\sin x\) равна \(\cos x\).

6) Теперь рассмотрим функцию
\(
y = \frac{\ln x}{x^3}.
\)
Используем правило деления:
\(
y’ = \frac{x^3 \cdot \frac{1}{x} — \ln x \cdot 3x^2}{(x^3)^2} = \frac{1 — 3 \ln x}{x^4}.
\)
Здесь мы применили правило Лейбница для производной частного.

7) Для функции
\(
y = \log_{0.2}(2x^2 + x — 4)
\)
вычисляем производную:
\(
y’ = (2 \cdot 2x + 1) \cdot \frac{1}{(2x^2 + x — 4) \ln 0.2}.
\)
Здесь мы использовали правило цепочки, где производная внутренней функции \(2x^2 + x — 4\) равна \(4x + 1\).

8) Для функции
\(
y = \ln(1 — 0.2x)
\)
вычисляем производную:
\(
y’ = -0.2 \cdot \frac{1}{1 — 0.2x}.
\)
Здесь мы используем правило цепочки, где производная внутренней функции \(1 — 0.2x\) равна \(-0.2\).

9) Наконец, для функции
\(
y = x^5 \ln x
\)
вычисляем производную:
\(
y’ = 5x^4 \cdot \ln x + x^5 \cdot \frac{1}{x} = x^4(5 \ln x + 1).
\)
Здесь мы применили правило произведения.