ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите производную функции:}
\)
1. \( y = \lg x \)
2. \( y = \ln (5x — 4) \)
3. \( y = (\ln x)^3 \)
4. \( y = \lg (\cos x) \)
5. \( y = \frac{x^5}{\ln x} \)
6. \( y = \log_2 (x^2 + 6) \)

1) \( y = \lg x \);
\( y’ = \frac{1}{x \ln 10} \);

2) \( y = \ln(5x — 4) \);
\( y’ = 5 \cdot \frac{1}{5x — 4} \);

\(
3) y = \ln^3 x;
\)
\(
y = 3 \ln^2 x \cdot \frac{1}{x}.
\)

4) \( y = \lg \cos x \);
\( y’ = -\frac{\sin x}{\cos x \cdot \ln 10} = -\frac{\tan x}{\ln 10} \);

5) \( y = \frac{x^5}{\ln x} \);
\( y’ = \frac{5x^4 \cdot \ln x — x^5 \cdot \frac{1}{x}}{\ln^2 x} = \frac{x^4(5 \ln x — 1)}{\ln^2 x} \);

6) \( y = \log_2(x^2 + 6) \);
\( y’ = 2x \cdot \frac{1}{(x^2 + 6) \cdot \ln 2} \);

1. \( y = \lg x \)
Формула производной десятичного логарифма:
\(
y’ = \frac{d}{dx}(\lg x) = \frac{1}{x \ln 10}
\)
Здесь \(\ln 10\) — это натуральный логарифм числа 10, а \(x\) — переменная.

2. \( y = \ln(5x — 4) \)
Производная натурального логарифма с учетом правила цепочки:
\(
y’ = \frac{d}{dx}(\ln(5x — 4)) = \frac{1}{5x — 4} \cdot \frac{d}{dx}(5x — 4)
\)
Производная внутренней функции \(5x — 4\):
\(
\frac{d}{dx}(5x — 4) = 5
\)
Итоговая производная:
\(
y’ = 5 \cdot \frac{1}{5x — 4}
\)

\(
3. y = (\ln x)^3
\)

Для удобства обозначим:
\(
y = (\ln x)^3 = (\ln x)^{3}.
\)

Найдём производную, используя правило цепочки:
\(
y’ = 3 (\ln x)^2 \cdot \frac{d}{dx}(\ln x).
\)

Производная \(\ln x\) равна \(\frac{1}{x}\), значит:
\(
y’ = 3 (\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3 (\ln x)^2}{x}.
\)

Итог:
\(
y’ = \frac{3 (\ln x)^2}{x}.
\)

4. \( y = \lg \cos x \)
Формула производной десятичного логарифма с учетом правила цепочки:
\(
y’ = \frac{1}{\cos x \ln 10} \cdot \frac{d}{dx}(\cos x)
\)
Производная функции \( \cos x \):
\(
\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x
\)
Итоговая производная:
\(
y’ = -\frac{\sin x}{\cos x \cdot \ln 10}
\)
Также можно записать через тангенс:
\(
y’ = -\frac{\tan x}{\ln 10}
\)

5. \( y = \frac{x^5}{\ln x} \)
Используем правило дифференцирования частного:
Если \( y = \frac{u}{v} \), то:
\(
y’ = \frac{u’v — uv’}{v^2}
\)
Здесь \( u = x^5 \), \( v = \ln x \).

Производная \( u = x^5 \):
\(
u’ = 5x^4
\)
Производная \( v = \ln x \):
\(
v’ = \frac{1}{x}
\)
Подставляем в формулу:
\(
y’ = \frac{5x^4 (\ln x) — x^5 (\frac{1}{x})}{(\ln x)^2}
\)
Упрощаем:
\(
y’ = \frac{x^4 (5\ln x — 1)}{\ln^2 x}
\)

6. \( y = \log_2(x^2 + 6) \)
Формула производной логарифма с произвольным основанием:
Если \( y = \log_a f(x) \), то:
\(
y’ = \frac{1}{f(x) \ln a} \cdot f'(x)
\)
Здесь \( f(x) = x^2 + 6, a = 2, f'(x) = 2x. \)

Производная:
\(
y’ = \frac{1}{(x^2 + 6) \ln 2} \cdot 2x
\)
Итоговая формула:
\(
y’ = 2x \cdot \frac{1}{(x^2 + 6) \ln 2}
\)