ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Вычислите значение производной функции } f \text{ в точке } x_0:
\)

1. \( f(x) = e^{3x} — 3x, \quad x_0 = 0; \)

2. \( f(x) = e^{-2x} \cos(2x), \quad x_0 = 0; \)

3. \( f(x) = 3^{3x — 4x^2 + 2}, \quad x_0 = 1. \)

Вычислить значение производной функции \( f(x) \) в данной точке \( x_0 \):
1) \( f(x) = e^{3x} — 3x, \, x_0 = 0; \, f'(x) = 3e^{3x} — 3; \, f'(0) = 3e^{3 \cdot 0} — 3 = 3 — 3 = 0; \) Ответ: \( 0 \).

2) \( f(x) = e^{-2x} \cos 2x, \, x_0 = 0; \)
\(f'(x) = -2e^{-2x} \cos 2x — e^{-2x} \cdot 2 \sin 2x; \)
\(f'(0) = -2e^{-2 \cdot 0} (\cos(2 \cdot 0) + \sin(2 \cdot 0));\)
\(f'(0) = -2 \cdot 1 \cdot (1 + 0) = -2; \)
Ответ: \( -2 \).

3) \( f(x) = 3^{3x — 4x^2 + 2}, \, x_0 = 1;\).
\(f'(x) = (3 — 4 \cdot 2x) \cdot 3^{3x — 4x^2 + 2} \cdot \ln 3; \).
\(f'(1) = (3 — 4 \cdot 2) \cdot 3^{3 — 4 + 2} \cdot \ln 3;\).
\(f'(1) = -5 \cdot 3^1 \cdot \ln 3 = -15 \ln 3; \)
Ответ: \( -15 \ln 3 \).

Вычислить значение производной функции \( f(x) \) в данной точке \( x_0 \):

1. \( f(x) = e^{3x} — 3x, \, x_0 = 0 \)

Производная функции:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{3x} — 3x \right) = 3e^{3x} — 3
\)

Подставляем \( x_0 = 0 \):
\(
f'(0) = 3e^{3 \cdot 0} — 3 = 3 \cdot e^0 — 3 = 3 — 3 = 0
\)

Ответ:
\(
0
\)

2. \( f(x) = e^{-2x} \cos 2x, \, x_0 = 0 \)

Производная функции:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{-2x} \cos 2x \right)
\)

Используем правило произведения:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{-2x} \right) \cdot \cos 2x + e^{-2x} \cdot \frac{d}{dx} \left( \cos 2x \right)
\)

Производная \( e^{-2x} \):
\(
\frac{d}{dx} e^{-2x} = -2e^{-2x}
\)

Производная \( \cos 2x \):
\(
\frac{d}{dx} \cos 2x = -\sin 2x \cdot 2
\)

Подставляем:
\(
f'(x) = -2e^{-2x} \cos 2x — e^{-2x} \cdot 2\sin 2x
\)

Упрощаем:
\(
f'(x) = -2e^{-2x} (\cos 2x + \sin 2x)
\)

Подставляем \( x_0 = 0 \):
\(
f'(0) = -2e^{-2 \cdot 0} (\cos(2 \cdot 0) + \sin(2 \cdot 0))
\)

Вычисляем:
\(
f'(0) = -2e^0 (\cos 0 + \sin 0) = -2 \cdot 1 (1 + 0) = -2
\)

Ответ:
\(
-2
\)

3. \( f(x) = 3^{3x — 4x^2 + 2}, \, x_0 = 1 \)

Производная функции:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 3^{3x — 4x^2 + 2} \right)
\)

Используем правило для производной показательной функции \( a^{u(x)} \):
\(
f'(x) = a^{u(x)} u'(x) \ln a
\)

В данном случае \( a = 3, u(x) = 3x — 4x^2 + 2 \). Производная \( u(x) \):
\(
u'(x) = \frac{d}{dx} (3x — 4x^2 + 2) = 3 — 8x
\)

Подставляем:
\(
f'(x) = (3 — 8x) \cdot 3^{3x — 4x^2 + 2} \cdot \ln 3
\)

Подставляем \( x_0 = 1 \):
\(
f'(1) = (3 — 8 \cdot 1) \cdot 3^{3(1) — 4(1)^2 + 2} \cdot \ln 3
\)

Вычисляем:
\(
f'(1) = (3 — 8) \cdot 3^{3 — 4 + 2} \cdot \ln 3
\)

Упрощаем:
\(
f'(1) = -5 \cdot 3^1 \cdot \ln 3 = -5 \cdot 3 \cdot \ln 3 = -15\ln 3
\)

Ответ:
\(
-15\ln 3
\)