ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Вычислите значение производной функции } f \text{ в точке } x_0:
\)
1) \( f(x) = e^{5x} + e^{-4x}, \quad x_0 = 0; \)
2) \( f(x) = e^{-x} \tan(x), \quad x_0 = 0; \)
3) \( f(x) = 4^{(x^2 — 3x — 4)}, \quad x_0 = -1. \)

1) \(f(x) = e^{5x} + e^{-4x}, x_0 = 0;\)
\(f'(x) = 5e^{5x} — 4e^{-4x};\)
\(f'(0) = 5e^{5 \cdot 0} — 4e^{-4 \cdot 0} = 5 — 4 = 1;\)
Ответ: \(1\).

2) \(f(x) = e^{-x} \cdot \tan x, x_0 = 0;\)
\(f'(x) = -e^{-x} \cdot \tan x + e^{-x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x};\)
\(f'(0) = e^{-0} \cdot \tan 0 + e^{-0} \cdot \frac{1}{\cos^2 0} = 0 + 1 = 1;\)
Ответ: \(1\).

3) \(f(x) = 4^{x^2 — 3x — 4}, x_0 = -1;\)
\(f'(x) = (2x — 3) \cdot 4^{x^2 — 3x — 4} \cdot \ln 4;\)
\(f'(-1) = (-2 — 3) \cdot 4^{(-1)^2 — 3(-1) — 4} \cdot \ln 4 = -5 \cdot 4^{-6} \cdot \ln 4;\)
Ответ: \(-5 \ln 4\).

Задача 1
Дана функция \(f(x) = e^{5x} + e^{-4x}\) и точка \(x_0 = 0\). Требуется найти значение производной функции \(f'(x)\) в точке \(x_0\).

Решение:
1. Найдем производную функции \(f(x)\):
\(f'(x) = 5e^{5x} — 4e^{-4x}\)
2. Вычислим значение производной в точке \(x_0 = 0\):
\(f'(0) = 5e^{5 \cdot 0} — 4e^{-4 \cdot 0} = 5 — 4 = 1\)

Ответ: \(f'(0) = 1\).

Задача 2
Дана функция \(f(x) = e^{-x} \cdot \tan x\) и точка \(x_0 = 0\). Требуется найти значение производной функции \(f'(x)\) в точке \(x_0\).

Решение:
1. Найдем производную функции \(f(x)\):
\(f'(x) = -e^{-x} \cdot \tan x + e^{-x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}\)
2. Вычислим значение производной в точке \(x_0 = 0\):
\(f'(0) = e^{-0} \cdot \tan 0 + e^{-0} \cdot \frac{1}{\cos^2 0} = 0 + 1 = 1\)

Ответ: \(f'(0) = 1\).

Задача 3
Дана функция \(f(x) = 4^{x^2 — 3x — 4}\) и точка \(x_0 = -1\). Требуется найти значение производной функции \(f'(x)\) в точке \(x_0\).

Решение:
1. Найдем производную функции \(f(x)\):
\(f'(x) = (2x — 3) \cdot 4^{x^2 — 3x — 4} \cdot \ln 4\)
2. Вычислим значение производной в точке \(x_0 = -1\):
\(f'(-1) = (-2 — 3) \cdot 4^{(-1)^2 — 3(-1) — 4} \cdot \ln 4 = -5 \cdot 4^{-6} \cdot \ln 4\)

Ответ: \(f'(-1) = -5 \ln 4\).